Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
O problema pede que se determine se a série
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, onde os termos são dados por:
-
; -
para .
Informações relevantes dadas no enunciado:
- A sequência
é definida recursivamente por multiplicação por . - Não há nenhum sinal alternante indicado, logo todos os fatores
são positivos, portanto para todo .
O que se pede explicitamente:
- Classificar a série em uma das três categorias: absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 2
Vamos estudar o comportamento dos termos
. A relação recursiva permite escrever o termo geral como produto acumulado. Escrevendo explicitamente:
Isto apenas desdobra a recorrência: para ir de
até
multiplica-se pelos fatores
.
Passo 3
Uma observação simples e poderosa: o quociente entre termos consecutivos é exatamente o fator da recorrência. Ou seja,
Vamos analisar o limite desse quociente quando
. Dividindo numerador e denominador por
obtém-se
Portanto o quociente entre termos consecutivos tende a
.
Passo 4
Agora preciso explicar dois testes que servem aqui (vou ensinar devagar, como combinamos):
- Teste da razão (ou razão limite): para uma série de termos positivos
, se
existe e
, a série converge absolutamente; se
então a série diverge; se
o teste é inconclusivo. O motivo intuitivo: se a razão tende a um número maior que
, os termos crescem geometricamente (ou não diminuem suficientemente), então não há convergência da soma.
- Teste do termo geral (teste necessário): se
converge então necessariamente . Se os termos não tendem a zero, a série diverge imediatamente.
Aplicando o teste da razão aqui: como calculado, o limite do quociente é
Pelo teste da razão concluímos imediatamente que a série
diverge.
Passo 5
Para complementar a intuição (não necessário para a conclusão, mas útil): como
, os termos
crescem aproximadamente como uma progressão geométrica com razão maior que
. Logo
(ou pelo menos não é zero), e portanto o teste do termo geral também garante divergência da série, porque os termos da soma não vão a zero.
Passo 6
Classificação final quanto à convergência absoluta/condicional:
- A série tem termos positivos, então “absoluta” ou “condicional” coincide com a convergência simples; como a série diverge, ela não é absolutamente convergente nem condicionalmente convergente.
Resposta
Divergente.