Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} ; a_{1}=2 ; a_{n+1}=\frac{5 n+1}{4 n+3} a_{n}

Passo 1

O problema pede que se determine se a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, onde os termos são dados por:
  • a_{1}=2;
  • a_{n+1}=\dfrac{5n+1}{4n+3}\,a_{n} para n\ge1.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • A sequência (a_n) é definida recursivamente por multiplicação por \dfrac{5n+1}{4n+3}.
  • Não há nenhum sinal alternante indicado, logo todos os fatores \dfrac{5n+1}{4n+3} são positivos, portanto a_n>0 para todo n.
O que se pede explicitamente:
  • Classificar a série em uma das três categorias: absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

Passo 2

Vamos estudar o comportamento dos termos a_n. A relação recursiva permite escrever o termo geral como produto acumulado. Escrevendo explicitamente:
a_n = a_1\prod_{k=1}^{n-1}\frac{5k+1}{4k+3}.
Isto apenas desdobra a recorrência: para ir de a_1 até a_n multiplica-se pelos fatores \dfrac{5\cdot1+1}{4\cdot1+3},\dfrac{5\cdot2+1}{4\cdot2+3},\dots,\dfrac{5(n-1)+1}{4(n-1)+3}.

Passo 3

Uma observação simples e poderosa: o quociente entre termos consecutivos é exatamente o fator da recorrência. Ou seja,
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{5n+1}{4n+3}.
Vamos analisar o limite desse quociente quando n\to\infty. Dividindo numerador e denominador por n obtém-se
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{5+\tfrac{1}{n}}{4+\tfrac{3}{n}} = \frac{5}{4}.
Portanto o quociente entre termos consecutivos tende a \dfrac{5}{4}.

Passo 4

Agora preciso explicar dois testes que servem aqui (vou ensinar devagar, como combinamos):
  • Teste da razão (ou razão limite): para uma série de termos positivos \sum a_n, se
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}
existe e L<1, a série converge absolutamente; se L>1 então a série diverge; se L=1 o teste é inconclusivo. O motivo intuitivo: se a razão tende a um número maior que 1, os termos crescem geometricamente (ou não diminuem suficientemente), então não há convergência da soma.
  • Teste do termo geral (teste necessário): se \sum a_n converge então necessariamente \lim_{n\to\infty} a_n = 0. Se os termos não tendem a zero, a série diverge imediatamente.
Aplicando o teste da razão aqui: como calculado, o limite do quociente é
L=\frac{5}{4}>1.
Pelo teste da razão concluímos imediatamente que a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n diverge.

Passo 5

Para complementar a intuição (não necessário para a conclusão, mas útil): como \dfrac{a_{n+1}}{a_n}\to \dfrac{5}{4}>1, os termos a_n crescem aproximadamente como uma progressão geométrica com razão maior que 1. Logo \lim_{n\to\infty} a_n = +\infty (ou pelo menos não é zero), e portanto o teste do termo geral também garante divergência da série, porque os termos da soma não vão a zero.

Passo 6

Classificação final quanto à convergência absoluta/condicional:
  • A série tem termos positivos, então “absoluta” ou “condicional” coincide com a convergência simples; como a série diverge, ela não é absolutamente convergente nem condicionalmente convergente.

Resposta

Divergente.

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