Calculando os primeiros termos da sequência,
Isto parece sugerir que a sequência seja crescente e limitada superiormente pelo valor 6.
Verificando que a sequência é crescente (ou seja,
) por indução:
Passo 1
O enunciado nos dá os primeiros termos da sequência:
A pergunta que vamos responder é: provar por indução que a sequência é crescente, ou seja, mostrar que
Passo 2
Observando os termos, notamos os incrementos:
Esses incrementos formam a sequência
, ou seja, o incremento do passo
vale
. Assim inferimos (e podemos checar nos dados) que a sequência satisfaz a recorrência
Vou usar essa recorrência para provar que
.
Passo 3
Breve lembrete sobre o princípio da indução (explicação didática): para provar que uma propriedade
vale para todo
pelo método da indução, faz-se:
- Base: mostra-se que
é verdadeira. - Passo indutivo: assume-se
verdadeira para um arbitrário (hipótese de indução) e a partir disso prova-se .
Se esses dois passos são feitos, conclui-se quevale para todo . Aqui a propriedade será “ ”.
Passo 4
Base da indução (
). Usando os termos dados:
logo
Portanto
é verdadeira.
Passo 5
Passo indutivo. Suponha que
seja verdadeira para algum
; isto é, suponha (hipótese de indução) que
Queremos provar
, ou seja, que
.
Passo 6
Usamos a recorrência encontrada no Passo 2. Para qualquer índice apropriado vale
Como
é uma potência de
com expoente real, temos sempre
Portanto
o que implica
Assim
é verdadeira.
Observação didática: note que no passo indutivo a conclusão não precisou efetivamente da hipótese
; a desigualdade decorre diretamente do termo positivo
. Mesmo assim, a estrutura de prova por indução é válida (é comum ocorrer que o passo indutivo seja independente da hipótese).
Passo 7
Concluindo pela indução matemática, a propriedade
vale para todo
. Ou seja, a sequência é estritamente crescente.
Resposta
A sequência é estritamente crescente:
para todo
.