Calculando os primeiros termos da sequência,
\begin{gathered} a_{1}=2 \\\ a_{2}=4 \\\ a_{3}=5 \\\ a_{4}=5,5 \\\ a_{5}=5,75 \\\ a_{6}=5,875 \end{gathered}
Isto parece sugerir que a sequência seja crescente e limitada superiormente pelo valor 6.
Verificando que a sequência é crescente (ou seja, a_{n+1}>a_{n} ) por indução:

Passo 1

O enunciado nos dá os primeiros termos da sequência:
\begin{gathered} a_{1}=2,\\\ a_{2}=4,\\\ a_{3}=5,\\\ a_{4}=5{,}5,\\\ a_{5}=5{,}75,\\\ a_{6}=5{,}875.
A pergunta que vamos responder é: provar por indução que a sequência é crescente, ou seja, mostrar que
a_{n+1}>a_{n}\quad\text{para todo }n\ge 1.

Passo 2

Observando os termos, notamos os incrementos:
a_{2}-a_{1}=2,\quad a_{3}-a_{2}=1,\quad a_{4}-a_{3}=\tfrac12,\quad a_{5}-a_{4}=\tfrac14,\quad a_{6}-a_{5}=\tfrac18.
Esses incrementos formam a sequência 2,1,\tfrac12,\tfrac14,\tfrac18,\dots, ou seja, o incremento do passo n vale 2^{2-n}. Assim inferimos (e podemos checar nos dados) que a sequência satisfaz a recorrência
a_{n+1}=a_{n}+2^{2-n}\quad\text{para todo }n\ge1.
Vou usar essa recorrência para provar que a_{n+1}>a_n.

Passo 3

Breve lembrete sobre o princípio da indução (explicação didática): para provar que uma propriedade P(n) vale para todo n\ge1 pelo método da indução, faz-se:
  1. Base: mostra-se que P(1) é verdadeira.
  2. Passo indutivo: assume-se P(n) verdadeira para um n arbitrário (hipótese de indução) e a partir disso prova-se P(n+1).
    Se esses dois passos são feitos, conclui-se que P(n) vale para todo n\ge1. Aqui a propriedade P(n) será “ a_{n+1}>a_n”.

Passo 4

Base da indução ( n=1). Usando os termos dados:
a_{2}=4\quad\text{e}\quad a_{1}=2,
logo
a_{2}>a_{1}.
Portanto P(1) é verdadeira.

Passo 5

Passo indutivo. Suponha que P(n) seja verdadeira para algum n\ge1; isto é, suponha (hipótese de indução) que
a_{n+1}>a_{n}.
Queremos provar P(n+1), ou seja, que a_{n+2}>a_{n+1}.

Passo 6

Usamos a recorrência encontrada no Passo 2. Para qualquer índice apropriado vale
a_{n+2}=a_{n+1}+2^{2-(n+1)}=a_{n+1}+2^{1-n}.
Como 2^{1-n} é uma potência de 2 com expoente real, temos sempre
2^{1-n}>0\quad\text{para todo }n.
Portanto
a_{n+2}-a_{n+1}=2^{1-n}>0,
o que implica
a_{n+2}>a_{n+1}.
Assim P(n+1) é verdadeira.
Observação didática: note que no passo indutivo a conclusão não precisou efetivamente da hipótese a_{n+1}>a_n; a desigualdade decorre diretamente do termo positivo 2^{1-n}. Mesmo assim, a estrutura de prova por indução é válida (é comum ocorrer que o passo indutivo seja independente da hipótese).

Passo 7

Concluindo pela indução matemática, a propriedade a_{n+1}>a_n vale para todo n\ge1. Ou seja, a sequência é estritamente crescente.

Resposta

A sequência é estritamente crescente: a_{n+1}>a_{n} para todo n\ge1.

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