Sejam \left\{a_{n}\right\} e \left\{b_{n}\right\} sequências convergentes, e c uma constante real. Valem as seguintes propriedades:
a) \lim _{n \rightarrow \infty}\left[a_{n} \pm b_{n}\right]=\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} \pm \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}
b) \lim _{n \rightarrow \infty}\left[c a_{n}\right]=c \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • \{a_n\} e \{b_n\} são sequências convergentes.
  • c é uma constante real.
O que se pede (as duas propriedades a provar):
a) Mostrar que \displaystyle \lim_{n\to\infty}\bigl[a_n\pm b_n\bigr]=\lim_{n\to\infty}a_n\pm\lim_{n\to\infty}b_n.
b) Mostrar que \displaystyle \lim_{n\to\infty}\bigl[c\,a_n\bigr]=c\lim_{n\to\infty}a_n.

Passo 2

Lembrando a definição que vamos usar (definição \varepsilon- N de limite):
  • Dizemos que \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=A se, para todo \varepsilon>0, existe N\in\mathbb{N} tal que
|a_n-A|<\varepsilon\quad\text{para todo }n\ge N.
  • Analogamente, \displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=B significa que, para todo \varepsilon>0, existe M\in\mathbb{N} tal que
|b_n-B|<\varepsilon\quad\text{para todo }n\ge M.
Essa definição é a base das provas formais de propriedades de limites. Vou usá-la diretamente.

Passo 3

Prova de (a) — soma (o mesmo vale para a diferença, com pequena adaptação).
Seja \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=A e \displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=B. Queremos mostrar que \displaystyle \lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=A+B.
Tomemos um \varepsilon>0 arbitrário. Para controlar a_n+b_n vamos dividir a tolerância \varepsilon em duas partes iguais (estratégia padrão): considere \varepsilon_1=\varepsilon_2=\varepsilon/2.
Pela convergência de \{a_n\} existe N_1 tal que
|a_n-A|<\frac{\varepsilon}{2}\quad\text{para todo }n\ge N_1.
Pela convergência de \{b_n\} existe N_2 tal que
|b_n-B|<\frac{\varepsilon}{2}\quad\text{para todo }n\ge N_2.
Escolha N=\max\{N_1,N_2\}. Para todo n\ge N temos ambas as desigualdades simultaneamente. Então, usando a desigualdade triangular (que diz que |x+y|\le|x|+|y| para quaisquer x,y):
\bigl|(a_n+b_n)-(A+B)\bigr| =| (a_n-A) + (b_n-B) | \le |a_n-A| + |b_n-B| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.
Assim, para todo \varepsilon>0 existe N tal que \bigl|(a_n+b_n)-(A+B)\bigr|<\varepsilon para todo n\ge N, ou seja,
\lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=A+B.
Para a diferença, note que
(a_n-b_n)-(A-B)=(a_n-A)-(b_n-B),
e o mesmo argumento com a desigualdade triangular fornece
\bigl|(a_n-b_n)-(A-B)\bigr|\le |a_n-A| + |b_n-B|<\varepsilon,
portanto
\lim_{n\to\infty}(a_n-b_n)=A-B.
Assim a propriedade com o sinal \pm está demonstrada.

Passo 4

Prova de (b) — multiplicação por constante.
Seja \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=A e c\in\mathbb{R}. Queremos mostrar \displaystyle \lim_{n\to\infty}(c\,a_n)=cA.
Caso especial c=0: então c\,a_n=0 para todo n, logo \lim_{n\to\infty}c\,a_n=0=cA. Pronto.
Suponha agora c\neq 0. Tome \varepsilon>0. Queremos garantir que
|c\,a_n - cA|<\varepsilon.
Observe que
|c\,a_n - cA| = |c|\,|a_n-A|.
Portanto, é suficiente garantir |a_n-A|<\varepsilon/|c|. Pela convergência de \{a_n\} existe N tal que
|a_n-A|<\frac{\varepsilon}{|c|}\quad\text{para todo }n\ge N.
Então para todo n\ge N vale
|c\,a_n - cA| = |c|\,|a_n-A| < |c| \cdot \frac{\varepsilon}{|c|} = \varepsilon.
Isso mostra que \displaystyle \lim_{n\to\infty}c\,a_n=cA.

Passo 5

Comentários finais e dica de prova para a prova escrita na prova:
  • Sempre comece com “Seja \varepsilon>0…” e escolha N em função das hipóteses (convergências dadas).
  • Para somas/diferenças, dividir \varepsilon (por exemplo em \varepsilon/2) é a técnica clássica.
  • Para multiplicação por constante, use |c\,a_n-cA|=|c|\,|a_n-A| e escolha N para controlar |a_n-A|.
  • Fica tranquilo: com essas receitas dá pra provar quase todas as propriedades algébricas básicas de limite.

Resposta

a) \displaystyle \lim_{n\to\infty}\bigl[a_n\pm b_n\bigr]=\lim_{n\to\infty}a_n\pm\lim_{n\to\infty}b_n
b) \displaystyle \lim_{n\to\infty}\bigl[c\,a_n\bigr]=c\lim_{n\to\infty}a_n

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