Deseja-se obter a altura de elevação de uma bomba centrífuga que será utilizada para irrigação agrícola. A vazão de trabalho é de 0,010 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}, fornecendo uma velocidade radial de saída de 2,2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A bomba opera a 1750 rpm . O rotor foi projetado com as seguintes características:
\mathrm{b}_{1}=12 \mathrm{~mm} ; \mathrm{b}_{2}=9 \mathrm{~mm} ; \beta_{1}=20^{\circ} ; \beta_{2}=60^{\circ}, e entrada radial.
Determine a altura de elevação para esta operação.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a altura de elevação (head) da bomba centrífuga para a operação dada.\n
Dados fornecidos:
Q=0{,}010\\ \mathrm{m^3/s},\quad c_{r2}=2{,}2\\ \mathrm{m/s},\quad N=1750\\ \mathrm{rpm},
b_1=12\\ \mathrm{mm},\quad b_2=9\\ \mathrm{mm},\quad \beta_1=20^\circ,\quad \beta_2=60^\circ,
e foi dito que a entrada é radial (ou seja, a componente tangencial absoluta na entrada é nula).\n
O que precisamos calcular: a altura de elevação H (em metros) para essa operação.

Passo 2

Primeiro vamos relacionar vazão, velocidade radial e geometria na saída para achar o raio de saída r_2. A vazão através do anel na saída é
Q = 2\pi r_2 b_2 c_{r2},
onde:
  • Q é a vazão (m³/s),
  • r_2 é o raio médio na saída (m),
  • b_2 é a largura (altura) do canal na saída (m),
  • c_{r2} é a componente radial da velocidade absoluta na saída (m/s).\n
    Rearranjando:
r_2=\frac{Q}{2\pi b_2 c_{r2}}.
Agora substituímos os números (convertendo b_2 para metros):
b_2=9\\ \mathrm{mm}=0{,}009\\ \mathrm{m},
r_2=\frac{0{,}010}{2\pi\cdot 0{,}009\cdot 2{,}2}.
Calculando:
2\pi\cdot 0{,}009\cdot 2{,}2 \approx 0{,}124407,
r_2\approx\frac{0{,}010}{0{,}124407}\approx 0{,}0803\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Agora calculamos a velocidade periférica (tangencial) da pá na saída u_2. Primeiro convertemos N para velocidade angular \omega:
\omega = 2\pi\cdot\frac{N}{60}.
Com N=1750\\ \mathrm{rpm}:
\omega = 2\pi\cdot\frac{1750}{60}\approx 183{,}26\\ \mathrm{rad/s}.
A velocidade periférica é
u_2=\omega r_2\approx 183{,}26\cdot 0{,}0803\approx 14{,}73\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Precisamos da componente tangencial da velocidade absoluta na saída c_{u2}. Para isso usamos o triângulo de velocidades na saída. Definições e relações importantes:
  • c_r é a componente radial da velocidade absoluta (aqui c_{r2}=2{,}2\\ \mathrm{m/s}).
  • w é a velocidade relativa (na referência móvel das pás). Suas componentes satisfazem w_r=c_r (a componente radial é a mesma nas duas referências).
  • O ângulo da pá na saída \beta_2 é o ângulo entre a velocidade relativa w_2 e a direção tangencial (por convensão típica).
    A relação trigonométrica no triângulo relativo é
\tan\beta_2=\frac{w_{r2}}{w_{u2}}=\frac{c_{r2}}{w_{u2}},
portanto
w_{u2}=\frac{c_{r2}}{\tan\beta_2}=c_{r2}\cot\beta_2.
A componente tangencial absoluta vem da transformação de velocidades:
c_{u2}=u_2-w_{u2}=u_2-c_{r2}\cot\beta_2.
Observação: a entrada foi dita radial, logo c_{u1}=0, o que simplifica a equação de Euler a seguir.

Passo 5

Calculemos numericamente w_{u2} e c_{u2}. Primeiro \cot 60^\circ:
\cot 60^\circ=\frac{1}{\tan 60^\circ}=\frac{1}{\sqrt{3}}\approx 0{,}57735.
Então
w_{u2}=c_{r2}\cot\beta_2=2{,}2\cdot 0{,}57735\approx 1{,}2702\\ \mathrm{m/s}.
E
c_{u2}=u_2-w_{u2}\approx 14{,}73-1{,}2702\approx 13{,}46\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Agora aplicamos a equação de Euler para máquinas rotativas (energia por unidade de massa adicionada pelo rotor):
H=\frac{u_2 c_{u2}-u_1 c_{u1}}{g},
onde g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}. Como a entrada é radial, c_{u1}=0 e u_1 c_{u1}=0. Logo:
H=\frac{u_2 c_{u2}}{g}.
Substituindo os valores numéricos:
u_2 c_{u2}\approx 14{,}73\cdot 13{,}46\approx 198{,}31\\ \mathrm{m^2/s^2},
H\approx\frac{198{,}31}{9{,}81}\approx 20{,}21\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Interpretação e verificação rápida: o resultado é razoável para uma bomba centrífuga de pequeno porte (cerca de 20 m de elevação). Note que aqui usamos a equação de Euler ideal, sem perdas mecânicas/hidrodinâmicas. Em projeto prático, acrescentam-se perdas (difusor, atrito, vazamentos) que reduziriam a altura efetiva, mas para o enunciado esse procedimento é o adequado e usa todos os dados fornecidos.

Resposta

20{,}2\\ \mathrm{m}

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