1- Deseja-se precipitar fracionadamente os hidróxidos de magnésio e de ferro (III), de uma solução que é 0,0100 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} em cada íon. Dados:
\mathrm{K}_{\text {ps } \mathrm{Mg}(\mathrm{OH}) 2}=6,0 \times 10^{-10} \text { e } \mathrm{K}_{\text {ps } \mathrm{Fe}(\mathrm{OH}) 3}=1,6 \times 10^{-39}
a) Que hidróxido precipita primeiro?
b) Em que pH inicia a precipitação do hidróxido menos solúvel?
c) Em que pH o segundo cátion começa a precipitar?
d) A separação é quantitativa?

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas:
(a) identificar qual hidróxido precipita primeiro;
(b) determinar o pH em que começa a precipitar o hidróxido menos solúvel;
(c) determinar o pH em que começa a precipitar o segundo hidróxido;
(d) avaliar se a separação é quantitativa.
Dados fornecidos (vou listar explicitamente todos):
\mathrm{[Mg^{2+}]_{0}}=0,0100\\ \mathrm{mol\!/L} (concentração inicial do magnésio),
\mathrm{[Fe^{3+}]_{0}}=0,0100\\ \mathrm{mol\!/L} (concentração inicial do ferro(III)),
\mathrm{K_{ps\,Mg(OH)_2}}=6,0\times10^{-10},
\mathrm{K_{ps\,Fe(OH)_3}}=1,6\times10^{-39}.
Nada mais foi pedido além disso — vou usar esses dados para calcular os pH de início de precipitação e discutir a separação.

Passo 2

Conceito e fórmula útil (explicação didática):
Um sal do tipo \mathrm{M(OH)_n} tem constante de solubilidade dada por
\mathrm{K_{ps}}=[\mathrm{M^{z+}}][\mathrm{OH^-}]^{n}.
A precipitação começa quando o produto iônico atinge \mathrm{K_{ps}}. Se sabemos a concentração do cátion na solução antes de precipitar (aqui \mathrm{[M^{z+}]_0}), podemos achar a concentração crítica de \mathrm{OH^-} que faz o produto iônico igualar \mathrm{K_{ps}}. Da equação acima, isolamos [\mathrm{OH^-}]:
[\mathrm{OH^-}]_{\text{crit}}=\left(\frac{\mathrm{K_{ps}}}{[\mathrm{M^{z+}]_0}}\right)^{1/n}.
Depois, para passar ao pH usamos os conceitos básicos:
\mathrm{pOH}=-\log_{10}([\mathrm{OH^-}])\quad\text{e}\quad \mathrm{pH}=14-\mathrm{pOH}.
Vou aplicar isso para os dois hidróxidos.

Passo 3

Cálculo para \mathrm{Fe(OH)_3} (o hidróxido de fórmula \mathrm{Fe(OH)_3} tem n=3). Primeiro calculamos a [\mathrm{OH^-}]_{\text{crit}}:
[\mathrm{OH^-}]_{\text{crit}}=\left(\frac{1,6\times10^{-39}}{0,0100}\right)^{1/3}=\left(1,6\times10^{-37}\right)^{1/3}.
Agora extraímos a raiz cúbica em duas partes: a raiz cúbica de 1,6 e a potência de 10:
1,6^{1/3}\approx1,17,
(10^{-37})^{1/3}=10^{-37/3}=10^{-12,333\ldots}=10^{-12}\times10^{-0,333\ldots}\approx10^{-12}\times0,4642.
Multiplicando:
[\mathrm{OH^-}]_{\text{crit}}\approx1,17\times0,4642\times10^{-12}\approx5,43\times10^{-13}\\ \mathrm{mol\!/L}.
Agora o pOH e o pH (detalhando como calcular o log):
\mathrm{pOH}=-\log_{10}(5,43\times10^{-13})=-\log_{10}(5,43)-\log_{10}(10^{-13})\approx-0,735+13=12,265.
Portanto
\mathrm{pH}=14-12,265\approx1,735\\ (\text{ou }1,74\text{ arredondado}).

Passo 4

Interpretando o resultado do Passo 3: a precipitação de \mathrm{Fe(OH)_3} começa quando o pH atinge aproximadamente \mathrm{pH}\approx1,74. Isso significa que, à medida que adicionamos base (ou aumentamos o pH) partindo de uma solução ácida, o \mathrm{Fe(OH)_3} é esperado precipitar muito cedo (em pH baixo) porque seu \mathrm{K_{ps}} é extremamente pequeno.

Passo 5

Cálculo para \mathrm{Mg(OH)_2} (aqui n=2). Aplicando a mesma fórmula:
[\mathrm{OH^-}]_{\text{crit}}=\left(\frac{6,0\times10^{-10}}{0,0100}\right)^{1/2}=\left(6,0\times10^{-8}\right)^{1/2}.
Extraindo a raiz quadrada:
\sqrt{6,0}\approx2,449\quad\text{e}\quad\sqrt{10^{-8}}=10^{-4},
logo
[\mathrm{OH^-}]_{\text{crit}}\approx2,449\times10^{-4}=2,45\times10^{-4}\\ \mathrm{mol\!/L}.
Calculemos pOH e pH:
\mathrm{pOH}=-\log_{10}(2,45\times10^{-4})=-\log_{10}(2,45)-\log_{10}(10^{-4})\approx-0,389+4=3,611.
Portanto
\mathrm{pH}=14-3,611\approx10,389\\ (\text{ou }10,39\text{ arredondado}).

Passo 6

Interpretação e comparação dos dois resultados (decisão sobre ordem de precipitação):
  • \mathrm{Fe(OH)_3} começa a precipitar em \mathrm{pH}\approx1,74.
  • \mathrm{Mg(OH)_2} começa a precipitar em \mathrm{pH}\approx10,39.
    Como a precipitação de \mathrm{Fe(OH)_3} ocorre em pH muito menor, ele é o primeiro a precipitar quando aumentamos o pH da solução. Logo, o primeiro a precipitar é \mathrm{Fe(OH)_3} (o menos solúvel).

Passo 7

Questão da separação ser quantitativa (explicação didática):
Para que a separação seja “quantitativa” queremos que praticamente todo o cátion mais insolúvel (aqui \mathrm{Fe^{3+}}) seja removido por precipitação sem que o outro cátion ( \mathrm{Mg^{2+}}) sofra precipitação significativa.
Um argumento numérico simples: mesmo para reduzir [\mathrm{Fe^{3+}}] a valores muito pequenos, a [\mathrm{OH^-}] necessária permanece muito menor do que a necessária para precipitar \mathrm{Mg(OH)_2}. Por exemplo, se quisermos que o ferro remanescente seja [\mathrm{Fe^{3+}}]=1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{mol\!/L} (isto é 10^{-4} da concentração inicial), a condição de equilíbrio do \mathrm{Fe(OH)_3}
[\mathrm{OH^-}]=\left(\frac{1,6\times10^{-39}}{1{,}0\times10^{-6}}\right)^{1/3}=\left(1{,}6\times10^{-33}\right)^{1/3}\approx1{,}17\times10^{-11},
que corresponde a \mathrm{pH}\approx14-11{,}93\approx2{,}07. Esse pH ainda está muito abaixo do pH de início de precipitação do magnésio ( \approx10{,}39). Mesmo se exigíssemos [\mathrm{Fe^{3+}}] absurdamente pequeno, a [\mathrm{OH^-}] exigida continuaria a dar pH bem menor que 10. Portanto, teoricamente a separação é muito favorável: o ferro precipita e pode ser quase totalmente removido sem precipitar magnésio.
Observações práticas (empatizando e realista): na prática sempre há efeitos que podem reduzir a eficiência: co-precipitação e aprisionamento (oclusão) de íons \mathrm{Mg^{2+}} no precipitado de \mathrm{Fe(OH)_3}, velocidade de mistura, presença de complexantes que ligam \mathrm{Fe^{3+}} e alteram sua química, e erros experimentais. Mas do ponto de vista estritamente termodinâmico (baseado nos \mathrm{K_{ps}} dados e nas concentrações iniciais), a separação pode ser considerada praticamente quantitativa.

Resposta

(a) \mathrm{Fe(OH)_3} precipita primeiro.
(b) Início da precipitação do menos solúvel: \mathrm{pH}\approx1,74.
(c) Início da precipitação do segundo cátion ( \mathrm{Mg^{2+}}): \mathrm{pH}\approx10,39.
(d) Teoricamente sim — a separação é praticamente quantitativa (na prática pode haver co-precipitação/oclusão, mas termodinamicamente há ampla diferença de pH favorecendo a separação).

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