Deseja-se produzir peças boas até que se obtenha 6 delas, em uma máquina que dá 20 % de peças defeituosas. Qual é a probabilidade de ser necessário fabricar 9 peças para se conseguir as 6 peças boas?

Passo 1

Beleza, o exercício diz: “Quero produzir peças boas até ter 6 delas, sabendo que cada peça tem 20% de chance de ser defeituosa. Qual a probabilidade de eu precisar fabricar exatamente 9 peças pra conseguir essas 6 boas?”
Conteúdo: distribuição binomial negativa (ou Pascal).
O que precisamos:
  1. Entender que a gente conta o número de tentativas até obter 6 sucessos (peças boas).
  2. Saber que a fórmula geral da binomial negativa é
P(N=n) ;=;binomn-1r-1,p^r,(1-p)^,n-r
onde é o número de sucessos que queremos, a probabilidade de sucesso e o número total de tentativas.

Passo 2

Aqui: sucesso = “peça boa” com probabilidade .
Queremos sucessos e verificar a chance de precisar de peças no total.

Passo 3

Aplicando a fórmula da binomial negativa:
P(N=9) ;=;binom9-16-1;p^6;(1-p)^9-6
Explicando cada parte:
  • é o número de jeitos de distribuir os 5 “sucessos” nas 8 primeiras tentativas antes do sucesso final.
  • é a chance de ter 6 peças boas.
  • é a chance das 3 peças restantes (dessas 9) serem defeituosas.

Passo 4

Substituindo P(N=9)=binom85,(0.8)^6,(0.2)^3 e :

Passo 5

Calcular a combinação:
binom85=8!5!,3!=8times7times63times2times1=56

Passo 6

Calcular as potências:
(0.8)^6 = 0.262144, (0.2)^3=0.008

Passo 7

Multiplicando tudo:
P(N=9)=56times0.262144times0.008 approx 0.117439

Resposta

boxedP(precisar de 9 peças)approx0.1174 ç

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