Deseja-se produzir “ar sintético” pela mistura de N_{2} com O_{2} cuja a proporção é de 79 / 21 \mathrm{em} mols. Um vaso de 10 \mathrm{~m}^{3} contém inicialmente 5,0 \mathrm{~kg} de O_{2} a 30^{\circ} \mathrm{C}. No instante t=0, N_{2} começa a ser alimentado ao vaso à 30^{\circ} \mathrm{C} com vazão \dot{n}_{N_{2}}(\mathrm{mols} / \mathrm{h})=15 \cdot t(\mathrm{~h}). Obtenha:
a) o tempo de alimentação de N_{2}(e m h).
b) a massa final da mistura (em kg ).
c) a pressão manométrica final no vaso ( e m m m H g ).
Dado: P_{\text {atm }}=720 \mathrm{mmHg}

Passo 1

O enunciado pede três coisas: (a) o tempo de alimentação de N_{2} (em horas), (b) a massa final da mistura (em kg) e (c) a pressão manométrica final no vaso (em \mathrm{mmHg}).\n
Dados relevantes fornecidos pelo enunciado:
\begin{aligned} &\text{Proporção molar desejada: } \frac{n_{N_{2}}}{n_{O_{2}}}=\frac{79}{21}.\\\ &\text{Volume do vaso: } V=10\\ \mathrm{m^{3}}.\\\ &\text{Massa inicial de }O_{2}: m_{O_{2},0}=5{,}0\\ \mathrm{kg}.\\\ &\text{Temperatura constante: } T=30^\circ\mathrm{C}=303{,}15\\ \mathrm{K}.\\\ &\text{Vazão molar de }N_{2}: \dot{n}_{N_{2}}(t)=15\,t\quad(\mathrm{mol/h}),\\ t\\ \text{em horas}.\\\ &\text{Pressão atmosférica: } P_{\text{atm}}=720\\ \mathrm{mmHg}. \end{aligned}çãããé
Observação importante: o enunciado não diz que sai gás do vaso, logo suponho que o O_{2} inicial permanece inteiro no vaso e o N_{2} é admitido aumentando a pressão até que a relação molar desejada seja alcançada.

Passo 2

Converter a massa inicial de O_{2} em número de mols (passo necessário para usar leis dos gases e razões molares).\n
Fórmula usada: a relação entre massa, número de mols e massa molar é
n=\frac{m}{M},
onde n é número de mols, m é massa e M é a massa molar.\n
Massa molar usada: \displaystyle M_{O_{2}}=32{,}00\\ \mathrm{g/mol}=0{,}03200\\ \mathrm{kg/mol}.\n
Cálculo dos mols iniciais de O_{2}:
n_{O_{2},0}=\frac{m_{O_{2},0}}{M_{O_{2}}}=\frac{5{,}0\\ \mathrm{kg}}{0{,}03200\\ \mathrm{kg/mol}}.
Agora efetuamos a conta:
n_{O_{2},0}=\frac{5{,}0}{0{,}03200}=156{,}25\\ \mathrm{mol}.

Passo 3

Determinar a expressão dos mols de N_{2} adicionados em função do tempo. Como a vazão molar é dependente do tempo, usamos integração.\n
Seja \dot{n}_{N_{2}}(t)=15\,t (em \mathrm{mol/h}). O total de mols de N_{2} adicionados até um tempo t=T é
n_{N_{2}}(T)=\int_{0}^{T} \dot{n}_{N_{2}}(t)\,dt=\int_{0}^{T} 15\,t\,dt.
Calcule a integral:
n_{N_{2}}(T)=\left.\frac{15}{2}t^{2}\right|_{0}^{T}=\frac{15}{2}T^{2}.
Portanto n_{N_{2}}(T)=\dfrac{15}{2}T^{2} (mols).

Passo 4

Impor a condição de composição final pedida: a razão molar final deve ser \dfrac{79}{21}.\n
Como não há consumo de O_{2}, o número de mols final de O_{2} é n_{O_{2},f}=n_{O_{2},0}=156{,}25. O número de mols de N_{2} final é n_{N_{2},f}=n_{N_{2}}(T)=\dfrac{15}{2}T^{2}.\n
A condição é
\frac{n_{N_{2},f}}{n_{O_{2},f}}=\frac{79}{21}.
Substituindo:
\frac{\dfrac{15}{2}T^{2}}{156{,}25}=\frac{79}{21}.

Passo 5

Resolver a equação para T.\n
Rearranjando:
\dfrac{15}{2}T^{2}=156{,}25\cdot\frac{79}{21}.
Calcule o lado direito: primeiro 156{,}25\cdot\frac{79}{21}=587 (cálculo direto). Então
\dfrac{15}{2}T^{2}=587.
Isolando T^{2}:
T^{2}=\frac{2\cdot 587}{15}=\frac{1174}{15}=78{,}266\overline{6}.
Tomando raiz quadrada:
T=\sqrt{78{,}266\overline{6}}\approx 8{,}85\\ \mathrm{h}.
Portanto o tempo de alimentação necessário é aproximadamente 8{,}85\\ \mathrm{h}.

Passo 6

Calcular a massa de N_{2} adicionada até T e, em seguida, a massa final da mistura.\n
Primeiro determinamos os mols de N_{2} adicionados no tempo T. Já temos a expressão:
n_{N_{2},f}=\frac{15}{2}T^{2}.
Substituindo o valor exato encontrado anteriormente (quando resolvemos a razão, obtivemos que n_{N_{2},f}=587\\ \mathrm{mol}; isto é consequência do cálculo feito), então
n_{N_{2},f}=587\\ \mathrm{mol}.
Agora convertemos em massa usando m=n\cdot M. Massa molar de N_{2}:
M_{N_{2}}=28{,}02\\ \mathrm{g/mol}=0{,}02802\\ \mathrm{kg/mol}.
Então a massa de N_{2} adicionada é
m_{N_{2}}=n_{N_{2},f}\cdot M_{N_{2}}=587\cdot 0{,}02802\\ \mathrm{kg}.
Calcule:
m_{N_{2}}=587\cdot 0{,}02802=16{,}44774\\ \mathrm{kg}\\ (\text{aprox. }16{,}45\\ \mathrm{kg}).
A massa final da mistura é soma das massas de O_{2} e N_{2}:
m_{\text{final}}=m_{O_{2},0}+m_{N_{2}}=5{,}0+16{,}44774=21{,}44774\\ \mathrm{kg}.
Arredondando conforme precisão dada nos dados, m_{\text{final}}\approx 21{,}45\\ \mathrm{kg}.

Passo 7

Determinar a pressão absoluta final no vaso usando a equação dos gases ideais e depois a pressão manométrica (pressão acima da atmosférica).\n
Relembrando a lei dos gases ideais:
pV=nRT,
onde p é a pressão absoluta, V é o volume, n é o número total de mols, R é a constante dos gases e T é a temperatura absoluta.\n
Aqui:
n_{\text{total}}=n_{O_{2},f}+n_{N_{2},f}=156{,}25+587=743{,}25\\ \mathrm{mol}.
Volume em litros (útil para usar R em \mathrm{L\cdot mmHg/(mol\cdot K)}):
V=10\\ \mathrm{m^{3}}=10{,}000\\ \mathrm{L}.
Constante dos gases em \mathrm{L\cdot mmHg/(mol\cdot K)}: podemos obter de \;R=0{,}082057\\ \mathrm{L\cdot atm/(mol\cdot K)} e 1\\ \mathrm{atm}=760\\ \mathrm{mmHg}, logo
R\approx 0{,}082057\cdot 760=62{,}36332\\ \mathrm{L\cdot mmHg/(mol\cdot K)}.
Temperatura:
T=303{,}15\\ \mathrm{K}.
Agora calcular a pressão absoluta em \mathrm{mmHg}:
p_{\text{abs}}=\frac{n_{\text{total}}\,R\,T}{V}.
Substituindo números:
p_{\text{abs}}=\frac{743{,}25\cdot 62{,}36332\cdot 303{,}15}{10{,}000}\\ \mathrm{mmHg}.
Calcule primeiro R\cdot T/V:
\frac{R\,T}{V}=\frac{62{,}36332\cdot 303{,}15}{10{,}000}\approx 1{,}8905375\\ \mathrm{mmHg/mol}.
Então
p_{\text{abs}}=743{,}25\cdot 1{,}8905375\approx 1405{,}14\\ \mathrm{mmHg}.

Passo 8

Calcular a pressão manométrica final (pressão acima da atmosférica).\n
Definição: a pressão manométrica (ou pressão gauge) é
p_{\text{man}}=p_{\text{abs}}-p_{\text{atm}}.
Substituindo p_{\text{abs}} e p_{\text{atm}}=720\\ \mathrm{mmHg}:
p_{\text{man}}=1405{,}14-720=685{,}14\\ \mathrm{mmHg}.
Arredondando, p_{\text{man}}\approx 685{,}1\\ \mathrm{mmHg}.

Resposta

(a) T\approx 8{,}85\\ \mathrm{h}
(b) m_{\text{final}}\approx 21{,}45\\ \mathrm{kg}
(c) p_{\text{man}}\approx 685{,}1\\ \mathrm{mmHg}

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