Escreva a equação de Henderson-Hasselbalch para uma solução de ácido fórmico. Calcule o quociente \left[\mathrm{HCO}_{2}{ }^{-}\right] /\left[\mathrm{HCO}_{2} \mathrm{H}\right] em (c) \mathrm{pH}=4,000

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) escrever a equação de Henderson–Hasselbalch para uma solução do ácido fórmico e (ii) calcular o quociente \left[\mathrm{HCO}_{2}^{-}\right]/\left[\mathrm{HCO}_{2}\mathrm{H}\right] quando \mathrm{pH}=4,000. Informações relevantes dadas ou necessárias: o ácido é o ácido fórmico, cujas espécies conjugadas são \mathrm{HCO}_{2}\mathrm{H} (ácido, HA) e \mathrm{HCO}_{2}^{-} (base conjugada, A^{-}); o valor de \mathrm{p}K_a do ácido fórmico é conhecido como aproximadamente \mathrm{p}K_a=3,75 (uso esse valor aqui).

Passo 2

Vamos derivar a equação de Henderson–Hasselbalch passo a passo, começando pela expressão da constante de acidez K_a. Para um ácido genérico HA que sofre ionização
HA \rightleftharpoons H^{+} + A^{-},
a constante de acidez é definida como
K_a=\frac{[H^{+}][A^{-}]}{[HA]}.
Explicação das grandezas:
  • [H^{+}] é a concentração dos íons hidrogênio (mol·L^{-1}),
  • [A^{-}] é a concentração da base conjugada (mol·L^{-1}),
  • [HA] é a concentração do ácido não dissociado (mol·L^{-1}).
Agora tomamos o logaritmo decimal negativo dos dois lados. Definimos \mathrm{pH} = -\log[H^{+}] e \mathrm{p}K_a = -\log K_a. Aplicando -\log em K_a=\dfrac{[H^{+}][A^{-}]}{[HA]} obtemos:
-\log K_a = -\log[H^{+}] - \log\frac{[A^{-}]}{[HA]}.
Substituindo as definições:
\mathrm{p}K_a = \mathrm{pH} - \log\frac{[A^{-}]}{[HA]}.
Isolando \mathrm{pH} temos a forma tradicional:
\mathrm{pH} = \mathrm{p}K_a + \log\frac{[A^{-}]}{[HA]}.
Isto é a equação de Henderson–Hasselbalch. Interpretação: a diferença \mathrm{pH}-\mathrm{p}K_a diz quantas ordens de grandeza a concentração da base conjugada difere da do ácido.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao sistema ácido fórmico / formiato, identificamos HA=\mathrm{HCO}_{2}\mathrm{H} e A^{-}=\mathrm{HCO}_{2}^{-}. Assim a equação fica:
\mathrm{pH} = \mathrm{p}K_a + \log\frac{[\mathrm{HCO}_{2}^{-}]}{[\mathrm{HCO}_{2}\mathrm{H}]}.

Passo 4

Para encontrar o quociente \dfrac{[\mathrm{HCO}_{2}^{-}]}{[\mathrm{HCO}_{2}\mathrm{H}]} isolamos essa razão na equação. Subtraindo \mathrm{p}K_a e aplicando a potência de base 10:
\log\frac{[\mathrm{HCO}_{2}^{-}]}{[\mathrm{HCO}_{2}\mathrm{H}]} = \mathrm{pH} - \mathrm{p}K_a
\frac{[\mathrm{HCO}_{2}^{-}]}{[\mathrm{HCO}_{2}\mathrm{H}]} = 10^{\,\mathrm{pH}-\mathrm{p}K_a}.

Passo 5

Agora substituímos os valores numéricos: \mathrm{pH}=4,000 (dado) e \mathrm{p}K_a=3,75 (valor conhecido do ácido fórmico). Calculamos a diferença:
\mathrm{pH}-\mathrm{p}K_a = 4,000 - 3,75 = 0,250.

Passo 6

Calculamos a potência:
\frac{[\mathrm{HCO}_{2}^{-}]}{[\mathrm{HCO}_{2}\mathrm{H}]} = 10^{0,250}.
Uma maneira prática de avaliar 10^{0,250} sem calculadora é notar que 10^{0,25}=10^{1/4}=\sqrt{\sqrt{10}}. Usando \sqrt{10}\approx 3,1623 e em seguida \sqrt{3,1623}\approx 1,778, obtemos
10^{0,250} \approx 1,778.
Arredondando a três algarismos significativos (compatível com os dados), fica aproximadamente 1,78.

Passo 7

Interpretação curta: o resultado \dfrac{[\mathrm{HCO}_{2}^{-}]}{[\mathrm{HCO}_{2}\mathrm{H}]} \approx 1,78 significa que, a \mathrm{pH}=4,000, há cerca de 1,78 vezes mais base conjugada ( \mathrm{HCO}_{2}^{-}) do que ácido não dissociado ( \mathrm{HCO}_{2}\mathrm{H}). Você pode usar sempre a fórmula \dfrac{[A^{-}]}{[HA]}=10^{\mathrm{pH}-\mathrm{p}K_a} em prova para calcular razões assim rapidamente.

Resposta

\displaystyle \mathrm{pH}=\mathrm{p}K_a+\log\frac{[\mathrm{HCO}_{2}^{-}]}{[\mathrm{HCO}_{2}\mathrm{H}]}\n
\displaystyle \frac{[\mathrm{HCO}_{2}^{-}]}{[\mathrm{HCO}_{2}\mathrm{H}]}\approx1,78

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