Uma coluna de destilação com um condensador total e um revervedor total deverá ser projetada para separar uma solução aquosa de metanol a
molar de metanol com vazão de
e operar a 1 atm . A carga está
vaporizada. Vazões molares constantes são válidas e o refluxo no topo é líquido saturado e do fundo vapor saturado. Deseja-se um produto destilado de
molar de metanol e o produto de fundo com
de metanol usando uma razão de refluxo no fundo igual a 1 . Se o
prato acima do refervedor é usado como estágio de carga, determine o número de estágios necessários à separação.
Dados de Equilíbrio do sistema metanol-
a 1 atm (% molar de metanol)
XMeOH
УмеOH
T (
)
0
0
100
2,0
13,4
96,4
4,0
23,0
93,5
6,0
30,4
91,2
8,0
36,5
89,3
10,0
41,8
87,7
15,0
51,7
84,4
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20,0
57,9
81,7
30,0
66,5
78,0
40,0
72,9
75,3
50,0
77,9
73,1
60,0
82,5
71,2
70,0
87,0
69,3
80,0
91,5
67,6
90,0
95,8
66,0
95,0
97,9
65,0
100,0
100,0
64,5
| XMeOH | УмеOH | T (
|
| 0 | 0 | 100 |
| 2,0 | 13,4 | 96,4 |
| 4,0 | 23,0 | 93,5 |
| 6,0 | 30,4 | 91,2 |
| 8,0 | 36,5 | 89,3 |
| 10,0 | 41,8 | 87,7 |
| 15,0 | 51,7 | 84,4 |
| 20,0 | 57,9 | 81,7 |
| 30,0 | 66,5 | 78,0 |
| 40,0 | 72,9 | 75,3 |
| 50,0 | 77,9 | 73,1 |
| 60,0 | 82,5 | 71,2 |
| 70,0 | 87,0 | 69,3 |
| 80,0 | 91,5 | 67,6 |
| 90,0 | 95,8 | 66,0 |
| 95,0 | 97,9 | 65,0 |
| 100,0 | 100,0 | 64,5 |
Passo 1
O enunciado pede para projetar (calcular) o número de estágios teóricos necessários para separar uma mistura metanol–água, usando McCabe–Thiele, com os dados a seguir (vou listar tudo o que o enunciado dá, bem claro):
- Vazão de alimentação:
. - Composição da alimentação (molar, metanol):
. - Fração da alimentação que está em vapor:
(isto é, carga vaporizada). - Pressão de operação:
. - Produto destilado (topo) desejado:
(molar em metanol). - Produto de base (fundo) desejado:
(molar em metanol). - Coluna com condensador total e reboiler total.
- Refluxo no topo líquido saturado e no fundo vapor saturado (isto afeta equilíbrios, mas para McCabe–Thiele usamos a curva de equilíbrio fornecida).
- Foi fornecida a curva de equilíbrio
vs (frações molares de metanol) em tabela — usarei explicitamente os pontos da tabela para interpolar quando necessário (vou citar onde peguei os valores). - Foi dada uma razão de refluxo igual a
. Interpreto isso como a razão de refluxo no topo (se houver outra interpretação, a resolução muda — mas esta é a interpretação padrão mais comum). - Foi informado que o estágio de alimentação é o
prato acima do reboiler. (Irei verificar depois se, com , a separação é possível; se não for, direi isso explicitamente.)
Observações que vou usar na resolução:
- A tabela de equilíbrio dada (valores em % molar de metanol) é a fonte dos pontos
usados para interpolação; mencionarei explicitamente quando usar um ponto dessa tabela. - A técnica a ser usada: método de McCabe–Thiele (operating lines, q-line, stepping). Na próxima etapa eu calcule as vazões D e B e escrevo as equações das linhas do McCabe–Thiele e faço análise gráfica/numérica com interpolação nos pontos da tabela.
Passo 2
Balanço global de matéria para encontrar
(vazão do destilado) e
(vazão do fundo). Usamos a equação do balanço de componente (metanol) em regime estacionário:
com
. Resolvo para
:
Substituindo os números:
Logo
(Guarda estes valores; serão úteis para fluxos internos se necessário.)
Passo 3
Escrevo a q-line correspondente à alimentação parcialmente vapor:
A equação geral da q-line é
Substituindo
e
,
e
Logo a q-line é
Vou usar essa q-line mais adiante para localizar o ponto de alimentação na casa de operação (interseção entre a q-line e a linha de retificação).
Passo 4
Equação da linha de operação na seção de retificação (topo) para coluna com condensador total:
A forma padrão é
onde
é a razão de refluxo. Como o enunciado indica razão igual a
, tomo
. Assim:
Portanto a linha de retificação é
Vou usar essa equação e a tabela de equilíbrio para verificar se a operação é possível e quantos estágios seriam necessários.
Passo 5
Determino o ponto de interseção entre a linha de retificação e a q-line (isto nos dá a coordenada
onde a alimentação “cai” no diagrama). Igualo as duas equações:
Rearranjando:
E então
Portanto a alimentação ocorre (no diagrama
-
) no ponto aproximado
Vou precisar desse ponto para montar a linha de operação de estripa (section abaixo do ponto de alimentação).
Passo 6
Linha de operação de estripa (abaixo do ponto de alimentação): em McCabe–Thiele, a linha de estripa passa pelo ponto de alimentação
e pelo ponto no fundo correspondente ao equilíbrio da composição do fundo. Como o reboiler é total, o vapor que sai do reboiler está em equilíbrio com a composição líquida do fundo
. Portanto eu obtenho o ponto de vapor correspondente a
a partir da tabela de equilíbrio.
Da tabela fornecida (usei os dados da tabela do enunciado):
- Para
(isto é ) a tabela dá ( ). - Para
( ) a tabela dá ( ).
Queremos
(
). Faço interpolação linear entre os pontos
e
para obter
correspondente:
Assim o ponto de fundo (em termos do par líquido-vapor no reboiler) é aproximadamente
— explicitamente obtido da tabela (interpolado).
A linha de estripa é a reta que passa por
e
. Calculo sua inclinação e intercepto:
Inclinação
Intercepto
Portanto a linha de estripa é aproximadamente
Passo 7
Agora vamos à análise por McCabe–Thiele: a maneira prática é construir a “escada” entre a linha de retificação e a curva de equilíbrio até o ponto de alimentação, e depois entre a linha de estripa e a curva de equilíbrio até o fundo, contando os degraus (cada degrau horizontal+vertical = 1 estágio teórico). Vou mostrar a tentativa de construção numérica (com interpolação na tabela) e mostrar o comportamento que surge com
.
Procedimento de stepping (resumido):
- Começamos no ponto de condensador total:
. - Movemos horizontalmente até a curva de equilíbrio para encontrar
tal que (usei a tabela e interpolação linear entre e ; os cálculos detalhados abaixo). - Depois movemos verticalmente até a linha de retificação
para obter , e assim por diante.
Vou mostrar algumas iterações iniciais (cada ciclo horizontal→vertical é um estágio teórico):
- Partindo de
, horizontalmente para curva eq. Interpolando entre pontos da tabela:
- Entre
( ) e ( ), para obtemos
Vertical para a linha de retificação:
- Horizontal para eq com
→ interp. entre ( ) e ( ) dá
Vertical:
-
Horizontal com
→ Vertical → -
Horizontal com
→ Vertical → -
Horizontal com
→ Vertical → -
Horizontal com
→ Vertical → -
Horizontal com
→ Vertical → -
Horizontal com
→ Vertical → -
Horizontal com
→ Vertical → -
Horizontal com
→ Vertical → -
Horizontal com
→ Vertical → -
Horizontal com
→ Vertical → -
Horizontal com
→ Vertical → -
Horizontal com
→ Vertical → -
Horizontal com
→ Vertical →
A partir daqui note que os valores de
após as horizontais estão convergindo para um valor por volta de
— ou seja, as etapas não conseguem “descer” além de um valor de
em torno de
. Em termos geométricos, a escalada entre a linha de retificação
e a curva de equilíbrio aproxima-se de um ponto de interseção/“aperto” (pinch) entre a linha de operação e a curva de equilíbrio. Quando isso acontece, o número de estágios necessários para avançar mais torna-se arbitrariamente grande (tende a infinito): você fica preso em torno do ponto onde a linha de operação se aproxima demais da curva de equilíbrio.
Passo 8
Vou ilustrar numericamente o “pinch” mostrando que existe um ponto onde a linha de retificação e a curva de equilíbrio se intersectam (ou ficam tão próximas que não é possível avançar). Procuramos
tal que
Usando a tabela para localizar o intervalo onde isso ocorre: para
a tabela diz
(dados da tabela), enquanto a linha de retificação dá
. A diferença é pequena (
). Para
interpolamos entre
e
(dados da tabela:
em
e
em
) para estimar
. A linha de retificação em
dá
. A diferença agora é
. Como o sinal da diferença mudou entre
e
, existe uma interseção no intervalo e ela está muito perto de
.
Isto significa que a linha de retificação cruza (ou quase tangencia) a curva de equilíbrio em torno de
. Na prática isso produz um “pinch” e a escada de McCabe–Thiele se aproxima assintoticamente desse ponto sem conseguir prosseguir até o ponto de alimentação em
. Em termos práticos/operacionais, com
a linha de retificação é demasiado “baixa” e a coluna não consegue mover a composição além desse ponto — logo, para atingir
e simultaneamente
não existe um número finito de estágios: o número necessário tende ao infinito.
Portanto a tentativa direta de contar estágios acima do ponto de alimentação falha porque a escada converge para esse “pinch” e não alcança a interseção com a q-line (ou seja, não chega ao ponto de alimentação); em consequência a separação desejada não é possível com a razão de refluxo
.
Passo 9
Conclusão lógica e física: quando a linha de operação (aqui a linha de retificação com
) cruza ou fica muito próxima da curva de equilíbrio em alguma região interior do diagrama, forma-se um gargalo que requer um número muito grande (tendendo a infinito) de estágios teóricos para ultrapassar. Foi exatamente o que se observou numericamente: a escada se estabiliza em torno de
e não consegue atingir o ponto de alimentação
. Portanto o projeto com
é inviável (se quisermos
e
), independentemente de qual seja o estágio de alimentação (mesmo que você coloque a alimentação no
prato acima do reboiler, não adianta — a seção de retificação não consegue “passar” o gargalo).
Se quisermos de fato obter a separação com número finito de estágios, é necessário aumentar a razão de refluxo
(tornando a linha de retificação mais vertical) até que a linha de operação não crie esse pinch contra a curva de equilíbrio. Alternativamente, seria preciso aceitar uma pureza diferente ou usar etapas adicionais como coluna azeotrópica, extratores, etc.
Resposta
A separação desejada não é possível com a razão de refluxo
: a linha de operação de retificação forma um “pinch” com a curva de equilíbrio (na região
) e o número de estágios teóricos necessários tenderia ao infinito.