Uma coluna de destilação com um condensador total e um revervedor total deverá ser projetada para separar uma solução aquosa de metanol a 40 \% molar de metanol com vazão de 5000 \frac{\text { moles }}{h} e operar a 1 atm . A carga está 30 \% vaporizada. Vazões molares constantes são válidas e o refluxo no topo é líquido saturado e do fundo vapor saturado. Deseja-se um produto destilado de 97 \% molar de metanol e o produto de fundo com 3 \% de metanol usando uma razão de refluxo no fundo igual a 1 . Se o 5^{0} prato acima do refervedor é usado como estágio de carga, determine o número de estágios necessários à separação.
Dados de Equilíbrio do sistema metanol- \mathrm{H}_{2} \mathrm{O} a 1 atm (% molar de metanol)
XMeOH УмеOH T ( { }^{\circ} \mathrm{C} )
0 0 100
2,0 13,4 96,4
4,0 23,0 93,5
6,0 30,4 91,2
8,0 36,5 89,3
10,0 41,8 87,7
15,0 51,7 84,4
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20,0 57,9 81,7
30,0 66,5 78,0
40,0 72,9 75,3
50,0 77,9 73,1
60,0 82,5 71,2
70,0 87,0 69,3
80,0 91,5 67,6
90,0 95,8 66,0
95,0 97,9 65,0
100,0 100,0 64,5

Passo 1

O enunciado pede para projetar (calcular) o número de estágios teóricos necessários para separar uma mistura metanol–água, usando McCabe–Thiele, com os dados a seguir (vou listar tudo o que o enunciado dá, bem claro):
  • Vazão de alimentação: F=5000\\ \dfrac{\text{moles}}{\text{h}}.
  • Composição da alimentação (molar, metanol): z_F=40\%=0{,}40.
  • Fração da alimentação que está em vapor: q=30\%=0{,}30 (isto é, carga 30\% vaporizada).
  • Pressão de operação: 1\\ \text{atm}.
  • Produto destilado (topo) desejado: x_D=97\%=0{,}97 (molar em metanol).
  • Produto de base (fundo) desejado: x_B=3\%=0{,}03 (molar em metanol).
  • Coluna com condensador total e reboiler total.
  • Refluxo no topo líquido saturado e no fundo vapor saturado (isto afeta equilíbrios, mas para McCabe–Thiele usamos a curva de equilíbrio fornecida).
  • Foi fornecida a curva de equilíbrio y vs x (frações molares de metanol) em tabela — usarei explicitamente os pontos da tabela para interpolar quando necessário (vou citar onde peguei os valores).
  • Foi dada uma razão de refluxo igual a 1. Interpreto isso como a razão de refluxo no topo R=\dfrac{L}{D}=1 (se houver outra interpretação, a resolução muda — mas esta é a interpretação padrão mais comum).
  • Foi informado que o estágio de alimentação é o 5^\circ prato acima do reboiler. (Irei verificar depois se, com R=1, a separação é possível; se não for, direi isso explicitamente.)
Observações que vou usar na resolução:
  • A tabela de equilíbrio dada (valores em % molar de metanol) é a fonte dos pontos (x,y) usados para interpolação; mencionarei explicitamente quando usar um ponto dessa tabela.
  • A técnica a ser usada: método de McCabe–Thiele (operating lines, q-line, stepping). Na próxima etapa eu calcule as vazões D e B e escrevo as equações das linhas do McCabe–Thiele e faço análise gráfica/numérica com interpolação nos pontos da tabela.

Passo 2

Balanço global de matéria para encontrar D (vazão do destilado) e B (vazão do fundo). Usamos a equação do balanço de componente (metanol) em regime estacionário:
F z_F = D x_D + B x_B
com B=F-D. Resolvo para D:
D = \dfrac{F(z_F - x_B)}{x_D - x_B}.
Substituindo os números:
D = \dfrac{5000\,(0{,}40-0{,}03)}{0{,}97-0{,}03} = \dfrac{5000\cdot 0{,}37}{0{,}94} = 5000 \cdot 0{,}393617\ldots \approx 1968{,}09\\ \dfrac{\text{mol}}{\text{h}}.
Logo
B = F - D = 5000 - 1968{,}09 \approx 3031{,}91\\ \dfrac{\text{mol}}{\text{h}}.
(Guarda estes valores; serão úteis para fluxos internos se necessário.)

Passo 3

Escrevo a q-line correspondente à alimentação parcialmente vapor:
A equação geral da q-line é
y = \dfrac{q}{q-1}\,x - \dfrac{z_F}{q-1}.
Substituindo q=0{,}30 e z_F=0{,}40,
\frac{q}{q-1}=\frac{0{,}30}{0{,}30-1}=\frac{0{,}30}{-0{,}70}=-0{,}428571\ldots
e
-\dfrac{z_F}{q-1} = -\dfrac{0{,}40}{-0{,}70}=0{,}5714286\ldots
Logo a q-line é
y = -0{,}428571\,x + 0{,}571429.
Vou usar essa q-line mais adiante para localizar o ponto de alimentação na casa de operação (interseção entre a q-line e a linha de retificação).

Passo 4

Equação da linha de operação na seção de retificação (topo) para coluna com condensador total:
A forma padrão é
y = \dfrac{R}{R+1}\,x + \dfrac{x_D}{R+1},
onde R=\dfrac{L}{D} é a razão de refluxo. Como o enunciado indica razão igual a 1, tomo R=1. Assim:
\dfrac{R}{R+1}=\dfrac{1}{2}=0{,}5,\qquad \dfrac{x_D}{R+1}=\dfrac{0{,}97}{2}=0{,}485.
Portanto a linha de retificação é
\boxed{y = 0{,}5\,x + 0{,}485.}
Vou usar essa equação e a tabela de equilíbrio para verificar se a operação é possível e quantos estágios seriam necessários.

Passo 5

Determino o ponto de interseção entre a linha de retificação e a q-line (isto nos dá a coordenada (x_q,y_q) onde a alimentação “cai” no diagrama). Igualo as duas equações:
0{,}5x + 0{,}485 = -0{,}428571x + 0{,}571429.
Rearranjando:
(0{,}5 + 0{,}428571)\,x = 0{,}571429 - 0{,}485
0{,}928571\,x = 0{,}086429 \quad\Rightarrow\quad x_q = \dfrac{0{,}086429}{0{,}928571} \approx 0{,}09309.
E então
y_q = 0{,}5\cdot 0{,}09309 + 0{,}485 \approx 0{,}531545.
Portanto a alimentação ocorre (no diagrama y- x) no ponto aproximado
\boxed{(x_q,y_q) \approx (0{,}0931,\;0{,}5315).}
Vou precisar desse ponto para montar a linha de operação de estripa (section abaixo do ponto de alimentação).

Passo 6

Linha de operação de estripa (abaixo do ponto de alimentação): em McCabe–Thiele, a linha de estripa passa pelo ponto de alimentação (x_q,y_q) e pelo ponto no fundo correspondente ao equilíbrio da composição do fundo. Como o reboiler é total, o vapor que sai do reboiler está em equilíbrio com a composição líquida do fundo x_B. Portanto eu obtenho o ponto de vapor correspondente a x_B a partir da tabela de equilíbrio.
Da tabela fornecida (usei os dados da tabela do enunciado):
  • Para X_\text{MeOH}=2{,}0\% (isto é x=0{,}02) a tabela dá Y_\text{MeOH}=13{,}4\% ( y=0{,}134).
  • Para X_\text{MeOH}=4{,}0\% ( x=0{,}04 ) a tabela dá Y_\text{MeOH}=23{,}0\% ( y=0{,}23).
Queremos x_B=0{,}03 ( 3\% ). Faço interpolação linear entre os pontos x=0{,}02 e x=0{,}04 para obter y correspondente:
y_B \approx 0{,}134 + \dfrac{0{,}03-0{,}02}{0{,}04-0{,}02}\,(0{,}230-0{,}134) =0{,}134 + 0{,}5\cdot 0{,}096 = 0{,}134 + 0{,}048 = 0{,}182.
Assim o ponto de fundo (em termos do par líquido-vapor no reboiler) é aproximadamente (x_B,y_B)=(0{,}03,\;0{,}182) — explicitamente obtido da tabela (interpolado).
A linha de estripa é a reta que passa por (x_B,y_B) e (x_q,y_q). Calculo sua inclinação e intercepto:
Inclinação
m_s = \dfrac{y_q - y_B}{x_q - x_B} = \dfrac{0{,}531545 - 0{,}182}{0{,}093089 - 0{,}03} = \dfrac{0{,}349545}{0{,}063089}\approx 5{,}5429.
Intercepto
b_s = y_q - m_s x_q \approx 0{,}531545 - 5{,}5429\cdot 0{,}093089 \approx 0{,}01555.
Portanto a linha de estripa é aproximadamente
\boxed{y = 5{,}5429\,x + 0{,}01555.}

Passo 7

Agora vamos à análise por McCabe–Thiele: a maneira prática é construir a “escada” entre a linha de retificação e a curva de equilíbrio até o ponto de alimentação, e depois entre a linha de estripa e a curva de equilíbrio até o fundo, contando os degraus (cada degrau horizontal+vertical = 1 estágio teórico). Vou mostrar a tentativa de construção numérica (com interpolação na tabela) e mostrar o comportamento que surge com R=1.
Procedimento de stepping (resumido):
  • Começamos no ponto de condensador total: (x_0,y_0)=(x_D,x_D)=(0{,}97,0{,}97).
  • Movemos horizontalmente até a curva de equilíbrio para encontrar x_1 tal que y_{\text{eq}}(x_1)=0{,}97 (usei a tabela e interpolação linear entre x=0{,}90 e 0{,}95; os cálculos detalhados abaixo).
  • Depois movemos verticalmente até a linha de retificação \,y=0{,}5x+0{,}485 para obter y_1, e assim por diante.
Vou mostrar algumas iterações iniciais (cada ciclo horizontal→vertical é um estágio teórico):
  1. Partindo de y=0{,}97, horizontalmente para curva eq. Interpolando entre pontos da tabela:
  • Entre x=0{,}90 ( y=0{,}958 ) e x=0{,}95 ( y=0{,}979 ), para y=0{,}97 obtemos
x_1 \approx 0{,}92857.
Vertical para a linha de retificação:
y = 0{,}5\cdot 0{,}92857 + 0{,}485 \approx 0{,}9493.
  1. Horizontal para eq com y=0{,}9493 → interp. entre x=0{,}80 ( y=0{,}915) e x=0{,}90 ( y=0{,}958) dá
x_2 \approx 0{,}8798.
Vertical: y = 0{,}5\cdot 0{,}8798 +0{,}485 \approx 0{,}9249.
  1. Horizontal com y=0{,}9249 x_3\approx 0{,}8230. Vertical → y\approx 0{,}8965.
  2. Horizontal com y=0{,}8965 x_4\approx 0{,}7589. Vertical → y\approx 0{,}8645.
  3. Horizontal com y=0{,}8645 x_5\approx 0{,}6878. Vertical → y\approx 0{,}8289.
  4. Horizontal com y=0{,}8289 x_6\approx 0{,}6087. Vertical → y\approx 0{,}7893.
  5. Horizontal com y=0{,}7893 x_7\approx 0{,}5225. Vertical → y\approx 0{,}7463.
  6. Horizontal com y=0{,}7463 x_8\approx 0{,}4345. Vertical → y\approx 0{,}7023.
  7. Horizontal com y=0{,}7023 x_9\approx 0{,}3581. Vertical → y\approx 0{,}6641.
  8. Horizontal com y=0{,}6641 x_{10}\approx 0{,}2989. Vertical → y\approx 0{,}6345.
  9. Horizontal com y=0{,}6345 x_{11}\approx 0{,}2645. Vertical → y\approx 0{,}6173.
  10. Horizontal com y=0{,}6173 x_{12}\approx 0{,}2445. Vertical → y\approx 0{,}6072.
  11. Horizontal com y=0{,}6072 x_{13}\approx 0{,}2328. Vertical → y\approx 0{,}6014.
  12. Horizontal com y=0{,}6014 x_{14}\approx 0{,}2261. Vertical → y\approx 0{,}5980.
  13. Horizontal com y=0{,}5980 x_{15}\approx 0{,}2221. Vertical → y\approx 0{,}5961.
A partir daqui note que os valores de x após as horizontais estão convergindo para um valor por volta de x\approx 0{,}218 — ou seja, as etapas não conseguem “descer” além de um valor de x em torno de 0{,}22. Em termos geométricos, a escalada entre a linha de retificação y=0{,}5x+0{,}485 e a curva de equilíbrio aproxima-se de um ponto de interseção/“aperto” (pinch) entre a linha de operação e a curva de equilíbrio. Quando isso acontece, o número de estágios necessários para avançar mais torna-se arbitrariamente grande (tende a infinito): você fica preso em torno do ponto onde a linha de operação se aproxima demais da curva de equilíbrio.

Passo 8

Vou ilustrar numericamente o “pinch” mostrando que existe um ponto onde a linha de retificação e a curva de equilíbrio se intersectam (ou ficam tão próximas que não é possível avançar). Procuramos x tal que
y_{\text{eq}}(x) = 0{,}5x + 0{,}485.
Usando a tabela para localizar o intervalo onde isso ocorre: para x=0{,}20 a tabela diz y_{\text{eq}}=0{,}579 (dados da tabela), enquanto a linha de retificação dá y=0{,}5\cdot 0{,}20 +0{,}485=0{,}585. A diferença é pequena ( -0{,}006). Para x=0{,}22 interpolamos entre x=0{,}20 e x=0{,}30 (dados da tabela: y=0{,}579 em x=0{,}20 e y=0{,}665 em x=0{,}30) para estimar y_{\text{eq}}(0{,}22)\approx 0{,}579} + 0{,}02\cdot(0{,}665-0{,}579)/0{,}10 \approx 0{,}5962. A linha de retificação em x=0{,}22 y=0{,}5\cdot0{,}22+0{,}485=0{,}595. A diferença agora é +0{,}0012. Como o sinal da diferença mudou entre x=0{,}20 e x=0{,}22, existe uma interseção no intervalo e ela está muito perto de x\approx 0{,}218.
Isto significa que a linha de retificação cruza (ou quase tangencia) a curva de equilíbrio em torno de x\approx 0{,}218. Na prática isso produz um “pinch” e a escada de McCabe–Thiele se aproxima assintoticamente desse ponto sem conseguir prosseguir até o ponto de alimentação em x_q\approx 0{,}0931. Em termos práticos/operacionais, com R=1 a linha de retificação é demasiado “baixa” e a coluna não consegue mover a composição além desse ponto — logo, para atingir x_D=0{,}97 e simultaneamente x_B=0{,}03 não existe um número finito de estágios: o número necessário tende ao infinito.
Portanto a tentativa direta de contar estágios acima do ponto de alimentação falha porque a escada converge para esse “pinch” e não alcança a interseção com a q-line (ou seja, não chega ao ponto de alimentação); em consequência a separação desejada não é possível com a razão de refluxo R=1.

Passo 9

Conclusão lógica e física: quando a linha de operação (aqui a linha de retificação com R=1) cruza ou fica muito próxima da curva de equilíbrio em alguma região interior do diagrama, forma-se um gargalo que requer um número muito grande (tendendo a infinito) de estágios teóricos para ultrapassar. Foi exatamente o que se observou numericamente: a escada se estabiliza em torno de x\approx 0{,}218 e não consegue atingir o ponto de alimentação x_q\approx 0{,}0931. Portanto o projeto com R=1 é inviável (se quisermos x_D=0{,}97 e x_B=0{,}03), independentemente de qual seja o estágio de alimentação (mesmo que você coloque a alimentação no 5^\circ prato acima do reboiler, não adianta — a seção de retificação não consegue “passar” o gargalo).
Se quisermos de fato obter a separação com número finito de estágios, é necessário aumentar a razão de refluxo R (tornando a linha de retificação mais vertical) até que a linha de operação não crie esse pinch contra a curva de equilíbrio. Alternativamente, seria preciso aceitar uma pureza diferente ou usar etapas adicionais como coluna azeotrópica, extratores, etc.

Resposta

A separação desejada não é possível com a razão de refluxo R=1: a linha de operação de retificação forma um “pinch” com a curva de equilíbrio (na região x\approx 0{,}218) e o número de estágios teóricos necessários tenderia ao infinito.

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