Deseja-se realizar um estudo sobre a relação entre o peso (P) e a quantidade de suco natural (S) que pode ser produzida de laranjas. A informação de uma amostra de laranjas obtida para este estudo é apresentada na tabela a seguir:
P(\mathrm{~g}) 150 130 140 120 160 160 130 170 140 150
S(\mathrm{ml}) 60 55 50 40 70 60 45 65 55 65
\sum_{i=1}^{10} P_{i}=1450 \sum_{i=1}^{10} S_{i}=565 \sum_{i=1}^{10} P_{i}^{2}=212500 \sum_{i=1}^{10} S_{i}^{2}=32725 \sum_{i=1}^{10} P_{i} S_{i}=83100
Determine uma medida de centralidade e de dispersão para ambas as variáveis.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine uma medida de centralidade e uma medida de dispersão para cada uma das duas variáveis da amostra: peso e quantidade de suco. Dados fornecidos (da tabela / enunciado):
n = 10
\sum_{i=1}^{10} P_{i} = 1450
\sum_{i=1}^{10} S_{i} = 565
\sum_{i=1}^{10} P_{i}^{2} = 212500
\sum_{i=1}^{10} S_{i}^{2} = 32725
\sum_{i=1}^{10} P_{i}S_{i} = 83100
Perguntas específicas que vou responder: para cada variável P (peso, em gramas) e S (suco, em mililitros), qual é
  1. uma medida de centralidade;
  2. uma medida de dispersão.

Passo 2

Escolha da medida de centralidade e fórmula. Vou usar a média amostral, que é a medida de centralidade mais comum e simples de calcular a partir das somas. A média amostral é definida por
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde x_i são os valores observados e n é o tamanho da amostra. Aqui aplico isso a P e a S.
Cálculo da média do peso P:
\bar{P}=\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}P_i=\frac{1450}{10}=145.
Interpretação rápida: a laranja média pesa 145 gramas.
Cálculo da média do suco S:
\bar{S}=\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}S_i=\frac{565}{10}=56,5.
Interpretação rápida: a laranja média rende 56,5 mL de suco.

Passo 3

Escolha da medida de dispersão e explicação da fórmula. Como estamos trabalhando com uma amostra, a medida de dispersão adequada e habitual é o desvio-padrão amostral. Primeiro calculamos a variância amostral s^2 pela fórmula
s^{2}=\frac{1}{n-1}\Bigl(\sum_{i=1}^{n} x_i^{2}-n\bar{x}^{2}\Bigr).
Explicação das partes:
  • \sum_{i=1}^{n} x_i^{2} é a soma dos quadrados dos valores observados (fornecida).
  • n\bar{x}^{2} é o ajuste que remove a componente explicada pela média;
  • n-1 no denominador corrige o viés da variância quando estimada a partir de uma amostra.
    O desvio-padrão amostral s é simplesmente a raiz quadrada da variância:
s=\sqrt{s^{2}}.

Passo 4

Cálculo detalhado da variância e desvio-padrão para P (peso).
Dados usados: n=10, \sum P_i^{2}=212500, \bar{P}=145.
Calculo do termo dentro dos parênteses:
\sum_{i=1}^{10}P_i^{2}-n\bar{P}^{2}=212500-10\cdot(145)^{2}.
Calculo de (145)^{2}:
(145)^{2}=21025.
Então
10\cdot(145)^{2}=10\cdot21025=210250.
Portanto a diferença é
212500-210250=2250.
Agora a variância amostral:
s_{P}^{2}=\frac{2250}{n-1}=\frac{2250}{9}=250.
Unidade: \text{g}^2.
Desvio-padrão amostral:
s_{P}=\sqrt{250}\approx 15,811388\ldots
Arredondando para duas casas decimais:
s_{P}\approx 15,81\\ \text{g}.
Interpretação: tipicamente o peso das laranjas difere da média em cerca de 15,81 g.

Passo 5

Cálculo detalhado da variância e desvio-padrão para S (suco).
Dados usados: n=10, \sum S_i^{2}=32725, \bar{S}=56,5.
Calculo de \bar{S}^{2}:
(56,5)^{2}=3192,25.
Então
n\bar{S}^{2}=10\cdot3192,25=31922,5.
Diferença:
\sum_{i=1}^{10}S_i^{2}-n\bar{S}^{2}=32725-31922,5=802,5.
Variância amostral:
s_{S}^{2}=\frac{802,5}{n-1}=\frac{802,5}{9}=89,166\overline{6}.
Unidade: \text{mL}^2.
Desvio-padrão amostral:
s_{S}=\sqrt{89,166\overline{6}}\approx 9,445\ldots
Arredondando para duas casas decimais:
s_{S}\approx 9,45\\ \text{mL}.
Interpretação: o rendimento de suco típico difere da média em cerca de 9,45 mL.

Passo 6

Resumo e interpretação final curta (ajuda para a prova): a média nos dá um valor “típico” (145 g e 56,5 mL) e o desvio-padrão nos diz qual é a dispersão em torno dessa média (±15,81 g e ±9,45 mL). Em prova, calcule sempre primeiro as médias com \bar{x}=\frac{1}{n}\sum x_i e depois use \;s^{2}=\frac{1}{n-1}\bigl(\sum x_i^{2}-n\bar{x}^{2}\bigr)\; para a variância amostral; a raiz dá o desvio-padrão.

Resposta

P:\\ \bar{P}=145\\ \text{g},\\ s_{P}\approx 15,81\\ \text{g}
S:\\ \bar{S}=56,5\\ \text{mL},\\ s_{S}\approx 9,45\\ \text{mL}

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