Deseja-se realizar um estudo sobre a relação entre o peso
e a quantidade de suco natural
que pode ser produzida de laranjas. A informação de uma amostra de laranjas obtida para este estudo é apresentada na tabela a seguir:
150
130
140
120
160
160
130
170
140
150
60
55
50
40
70
60
45
65
55
65
Determine uma medida de centralidade e de dispersão para ambas as variáveis.
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150 | 130 | 140 | 120 | 160 | 160 | 130 | 170 | 140 | 150 |
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60 | 55 | 50 | 40 | 70 | 60 | 45 | 65 | 55 | 65 |
Passo 1
O enunciado pede que eu determine uma medida de centralidade e uma medida de dispersão para cada uma das duas variáveis da amostra: peso e quantidade de suco. Dados fornecidos (da tabela / enunciado):
n =
Perguntas específicas que vou responder: para cada variável
(peso, em gramas) e
(suco, em mililitros), qual é
- uma medida de centralidade;
- uma medida de dispersão.
Passo 2
Escolha da medida de centralidade e fórmula. Vou usar a média amostral, que é a medida de centralidade mais comum e simples de calcular a partir das somas. A média amostral é definida por
onde
são os valores observados e
é o tamanho da amostra. Aqui aplico isso a
e a
.
Cálculo da média do peso
:
Interpretação rápida: a laranja média pesa
gramas.
Cálculo da média do suco
:
Interpretação rápida: a laranja média rende
mL de suco.
Passo 3
Escolha da medida de dispersão e explicação da fórmula. Como estamos trabalhando com uma amostra, a medida de dispersão adequada e habitual é o desvio-padrão amostral. Primeiro calculamos a variância amostral
pela fórmula
Explicação das partes:
-
é a soma dos quadrados dos valores observados (fornecida). -
é o ajuste que remove a componente explicada pela média; -
no denominador corrige o viés da variância quando estimada a partir de uma amostra.
O desvio-padrão amostralé simplesmente a raiz quadrada da variância:
Passo 4
Cálculo detalhado da variância e desvio-padrão para
(peso).
Dados usados:
,
,
.
Calculo do termo dentro dos parênteses:
Calculo de
:
Então
Portanto a diferença é
Agora a variância amostral:
Unidade:
.
Desvio-padrão amostral:
Arredondando para duas casas decimais:
Interpretação: tipicamente o peso das laranjas difere da média em cerca de
g.
Passo 5
Cálculo detalhado da variância e desvio-padrão para
(suco).
Dados usados:
,
,
.
Calculo de
:
Então
Diferença:
Variância amostral:
Unidade:
.
Desvio-padrão amostral:
Arredondando para duas casas decimais:
Interpretação: o rendimento de suco típico difere da média em cerca de
mL.
Passo 6
Resumo e interpretação final curta (ajuda para a prova): a média nos dá um valor “típico” (145 g e 56,5 mL) e o desvio-padrão nos diz qual é a dispersão em torno dessa média (±15,81 g e ±9,45 mL). Em prova, calcule sempre primeiro as médias com
e depois use
para a variância amostral; a raiz dá o desvio-padrão.