Deseja-se realizar um estudo sobre a relação entre o peso (P) e a quantidade de suco natural (S) que pode ser produzida de laranjas. A informação de uma amostra de laranjas obtida para este estudo é apresentada na tabela a seguir:
P(\mathrm{~g}) 150 130 140 120 160 160 130 170 140 150
S(\mathrm{ml}) 60 55 50 40 70 60 45 65 55 65
\sum_{i=1}^{10} P_{i}=1450 \sum_{i=1}^{10} S_{i}=565 \sum_{i=1}^{10} P_{i}^{2}=212500 \sum_{i=1}^{10} S_{i}^{2}=32725 \sum_{i=1}^{10} P_{i} S_{i}=83100
A partir dos quartis, verifique se há observações discrepantes (outliers) em alguma das variáveis.

Passo 1

O enunciado pede que, a partir dos quartis, verifiquemos se há observações discrepantes (outliers) em alguma das variáveis: P (peso em gramas) e S (suco em ml).
As informações fornecidas são:
  • Valores de P:
150,\;130,\;140,\;120,\;160,\;160,\;130,\;170,\;140,\;150
  • Valores de S:
60,\;55,\;50,\;40,\;70,\;60,\;45,\;65,\;55,\;65
  • Somas e somas de quadrados fornecidas (estão no enunciado):
\sum_{i=1}^{10} P_{i}=1450,\quad \sum_{i=1}^{10} S_{i}=565,
\sum_{i=1}^{10} P_{i}^{2}=212500,\quad \sum_{i=1}^{10} S_{i}^{2}=32725,
\sum_{i=1}^{10} P_{i}S_{i}=83100.
O que se pede aqui é somente identificar outliers usando quartis e a regra do intervalo interquartílico (IQR). Não vamos usar as somas para calcular quartis — usaremos os próprios dados ordenados.

Passo 2

Explicando didaticamente a técnica que vamos usar (regra de Tukey, muito comum em provas):
  • Quartis: Q_1 é o primeiro quartil (mediana da metade inferior dos dados), Q_2 é a mediana (mediana dos 50% centrais) e Q_3 é o terceiro quartil (mediana da metade superior dos dados).
    Para uma amostra com n par (aqui n=10), dividimos os dados ordenados em duas metades com n/2 observações cada; Q_1 é a mediana da metade inferior e Q_3 é a mediana da metade superior.
  • Intervalo interquartílico (IQR):
\text{IQR} = Q_3 - Q_1.
  • Regras para detectar outliers (regra usual de Tukey):
\text{limite inferior} = Q_1 - 1{,}5\cdot\text{IQR},
\text{limite superior} = Q_3 + 1{,}5\cdot\text{IQR}.
Qualquer observação menor que o limite inferior ou maior que o limite superior é considerada outlier.
Agora aplicamos passo a passo para cada variável.

Passo 3

Análise da variável P.
  1. Ordeno os dados de P em ordem crescente:
120,\;130,\;130,\;140,\;140,\;150,\;150,\;160,\;160,\;170.
  1. Como n=10 (par), a mediana Q_2 é a média entre a 5ª e a 6ª observação:
Q_2 = \frac{140 + 150}{2} = \frac{290}{2} = 145.
  1. Metade inferior (primeiras 5 observações):
120,\;130,\;130,\;140,\;140.
A mediana dessa metade (terceiro valor) é
Q_1 = 130.
  1. Metade superior (últimas 5 observações):
150,\;150,\;160,\;160,\;170.
A mediana dessa metade (terceiro valor) é
Q_3 = 160.
  1. Calculo do IQR:
\text{IQR} = Q_3 - Q_1 = 160 - 130 = 30.
  1. Limites para outliers:
\text{limite inferior} = Q_1 - 1{,}5\cdot\text{IQR} = 130 - 1{,}5\cdot30 = 130 - 45 = 85,
\text{limite superior} = Q_3 + 1{,}5\cdot\text{IQR} = 160 + 45 = 205.
  1. Verificação: todos os valores observados de P estão entre 120 e 170. Comparando com os limites:
85 < 120 \le P_i \le 170 < 205.
Logo não há observações de P menores que 85 nem maiores que 205. Portanto NÃO há outliers em P.

Passo 4

Análise da variável S.
  1. Ordeno os dados de S em ordem crescente:
40,\;45,\;50,\;55,\;55,\;60,\;60,\;65,\;65,\;70.
  1. Mediana Q_2 (média entre 5ª e 6ª observações):
Q_2 = \frac{55 + 60}{2} = \frac{115}{2} = 57{,}5.
  1. Metade inferior (primeiras 5 observações):
40,\;45,\;50,\;55,\;55.
Mediana dessa metade (terceiro valor):
Q_1 = 50.
  1. Metade superior (últimas 5 observações):
60,\;60,\;65,\;65,\;70.
Mediana dessa metade (terceiro valor):
Q_3 = 65.
  1. Calculo do IQR:
\text{IQR} = Q_3 - Q_1 = 65 - 50 = 15.
  1. Limites para outliers:
\text{limite inferior} = Q_1 - 1{,}5\cdot\text{IQR} = 50 - 1{,}5\cdot15 = 50 - 22{,}5 = 27{,}5,
\text{limite superior} = Q_3 + 1{,}5\cdot\text{IQR} = 65 + 22{,}5 = 87{,}5.
  1. Verificação: todos os valores observados de S estão entre 40 e 70. Comparando com os limites:
27{,}5 < 40 \le S_i \le 70 < 87{,}5.
Logo não há observações de S menores que 27{,}5 nem maiores que 87{,}5. Portanto NÃO há outliers em S.

Passo 5

Resumo e interpretação curta (meio motivacional): fizemos passo a passo — ordenação, cálculo de Q_1,Q_2,Q_3, IQR e limites — e nenhum valor ultrapassa os limites. Então, apesar de alguns valores parecerem mais altos (por exemplo P=170 e S=70), segundo a regra do IQR eles não são considerados discrepantes. Ótimo trabalho — essa regra é a que você provavelmente verá na prova para detectar outliers com quartis.

Resposta

Não há observações discrepantes (outliers) em P nem em S.

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