Selecione duas amostras ao acaso, uma das idades das atrizes e outra das idades dos atores, e use o teste da soma dos postos para responder à pergunta do exercício 1 citada acima. Escreve as hipóteses nula e alternativa que está verificando, apresente e comente o resultado.

Passo 1

O que o enunciado pede: selecionar duas amostras ao acaso — uma das idades das atrizes e outra das idades dos atores — e aplicar o teste da soma dos postos (teste de Mann–Whitney) para responder à pergunta do exercício 1. Pedir também que eu escreva as hipóteses nula e alternativa, apresente e comente o resultado.
Informações dadas no enunciado que eu tenho aqui: apenas a solicitação acima.
Informações que faltam e que são necessárias para calcular o teste: as observações concretas — isto é, os valores das idades das atrizes e dos atores, ou pelo menos as duas amostras selecionadas. Como esses dados não foram fornecidos, não posso calcular o valor numérico do teste para o seu caso real. Vou, contudo, explicar passo a passo como fazer o teste na prova e mostrar um exemplo numérico ilustrativo (com dados fictícios) para você ver o procedimento completo e poder replicá‑lo com os seus dados.

Passo 2

Hipóteses do teste (forma usual, duas caudas):
H_0:\text{ as distribuições (medianas) das idades das atrizes e dos atores são iguais}çõã
H_1:\text{ as distribuições (medianas) das idades das atrizes e dos atores são diferentes}çõã
Explicação curta: o teste da soma dos postos verifica se as duas amostras vêm da mesma distribuição contínua (com frequência usamos a interpretação de igualdade de medianas). Se você tiver uma hipótese direcional (por ex. atrizes são mais jovens), use alternativa unilateral.

Passo 3

Passo a passo prático para aplicar o teste quando os dados estiverem disponíveis (faça isso na prova, sem calculadora quando possível):
  1. Reúna as duas amostras e anote os tamanhos: \(n_1) para atrizes e \(n_2) para atores.
  2. Junte todas as observações em uma única lista e ordene em ordem crescente. A cada observação atribua sua posição (posto) na ordenação: o menor recebe posto 1, o segundo posto 2, e assim por diante.
  3. Se houver empates (valores iguais), atribua a cada observação empatada a média dos postos que ocupariam. Ex.: se dois valores empatam nas posições 5 e 6, cada um recebe posto (5+6)/2=5,5.
  4. Some os postos que correspondem às observações do primeiro grupo (por ex. atrizes): chame de R_1. De forma análoga, some os postos do segundo grupo: R_2. Note que R_1+R_2=\dfrac{(n_1+n_2)(n_1+n_2+1)}{2}.
  5. Calcule a estatística U. Uma fórmula prática é:
U_1 = R_1 - \frac{n_1(n_1+1)}{2}
U_2 = n_1 n_2 - U_1
Use a menor entre U_1 e U_2 para consultas de tabelas exatas; para aproximação normal use U_1 (ou U_2) conforme a conveniência.
  1. Para amostras grandes usa‑se a aproximação normal. Sob H_0,
\mu_U = \frac{n_1 n_2}{2}
\sigma_U = \sqrt{\frac{n_1 n_2 (n_1+n_2+1)}{12}}
Se houver empates, ajuste \sigma_U com a correção de empates:
\sigma_U = \sqrt{\frac{n_1 n_2}{12}\left[(n_1+n_2+1) - \frac{\sum (t^3 - t)}{(n_1+n_2)(n_1+n_2-1)}\right]}
onde a soma é sobre cada grupo de empates e t é o número de observações no empate.
  1. Calcule o valor padronizado:
z=\frac{U - \mu_U}{\sigma_U}
(pode aplicar correção de continuidade se desejar: substituir U por U \pm 0,5 conforme sinal).
  1. Obtenha o p‑valor a partir da distribuição normal padrão: p‑valor = 2\Phi(-|z|) para teste bicaudal. Compare com \alpha (ex.: \alpha=0,05). Rejeite H_0 se p‑valor <\alpha.

Passo 4

Explicação das fórmulas e por que funcionam (aula curta, sem jargões):
  • A ideia do teste da soma dos postos é transformar dados em postos (ranks) que preservam ordem, sendo robusto contra não normalidade. Somando os postos do grupo A obtemos R_1; se as duas populações forem iguais em distribuição, esperamos que os postos se dispersem igualmente entre os grupos — portanto R_1 deve ficar perto de seu valor esperado \dfrac{n_1(n_1+n_2+1)}{2} dividido pelo fator correto, daí a fórmula para U.
  • A estatística U mede quantas vezes observações do primeiro grupo ficam abaixo (ou acima) das do segundo grupo: valores muito pequenos ou muito grandes de U indicam diferenças entre grupos.
  • As fórmulas de \mu_U e \sigma_U vêm da combinatória dos postos sob a hipótese de aleatoriedade completa (todas as permutações igualmente prováveis).

Passo 5

Exemplo numérico ilustrativo (dados fictícios, siga este modelo com seus dados reais):
Suponha que eu selecionei (aleatoriamente) as seguintes amostras fictícias:
  • idades das atrizes ( n_1=4): \{24,\,30,\,35,\,42\}
  • idades dos atores ( n_2=5): \{28,\,33,\,36,\,40,\,45\}
  1. Junto e ordeno todas as observações:
24(A),\;28(B),\;30(A),\;33(B),\;35(A),\;36(B),\;40(B),\;42(A),\;45(B)
Os postos são 1,2,3,4,5,6,7,8,9 respectivamente.
  1. Somo os postos do grupo A (atrizes): postos de 24,30,35,42 são 1,3,5,8. Logo
R_1 = 1+3+5+8 = 17.
  1. Calcula U_1:
U_1 = R_1 - \frac{n_1(n_1+1)}{2} = 17 - \frac{4\cdot5}{2} = 17 - 10 = 7.
E U_2 = n_1 n_2 - U_1 = 4\cdot5 - 7 = 13.
  1. Esperança e desvio:
\mu_U = \frac{n_1 n_2}{2} = \frac{4\cdot5}{2} = 10.
\sigma_U = \sqrt{\frac{n_1 n_2 (n_1+n_2+1)}{12}} = \sqrt{\frac{4\cdot5\cdot10}{12}} = \sqrt{\frac{200}{12}} \approx 4{,}0825.
  1. Estatística z:
z = \frac{U_1 - \mu_U}{\sigma_U} = \frac{7-10}{4{,}0825} \approx -0{,}7348.
  1. p‑valor (teste bicaudal):
\text{p‑valor} \approx 2\Phi(-0{,}7348) \approx 2\cdot 0{,}231 = 0{,}462.
  1. Decisão com \alpha=0{,}05: \text{p‑valor}=0{,}462 > 0{,}05, então não rejeitamos H_0.
Comentário do exemplo: com estes dados fictícios não há evidência de diferença nas distribuições (medianas) das idades entre atrizes e atores.

Passo 6

Interpretação prática e observações importantes (para a prova e para você ficar confiante):
  • Se rejeitarmos H_0: concluímos que existe evidência estatística de diferença entre as distribuições (ou medianas) das idades dos dois grupos. Em linguagem simples: “as idades dos grupos diferem”.
  • Se não rejeitarmos H_0: concluímos que não há evidência suficiente, com o nível \alpha escolhido, de diferença entre as distribuições; isso não prova que são iguais, apenas que os dados não mostram diferença suficiente.
  • Suposições do teste: amostras independentes; variável medida pelo menos em escala ordinal; para aproximação normal, amostras moderadamente grandes (regra empírica: ambos n_1,n_2 maiores que 10 é confortável). Para amostras pequenas, use a tabela exata de Mann–Whitney ou o valor exato de U.
  • Se houver muitos empates (mesmas idades repetidas), usar a correção de empates no cálculo de \sigma_U.

Passo 7

Conclusão e próximo passo prático para você: eu não consigo executar o teste para o seu caso real porque você não me forneceu as idades (as duas amostras). Use o procedimento acima com suas amostras reais: combine, rankeie, calcule R_1, calcule U, depois \mu_U,\sigma_U, z e p‑valor; então compare com \alpha. Se quiser, cole aqui as duas amostras (ou os valores escolhidos aleatoriamente) e eu aplico o teste com os cálculos completos.

Resposta

Não é possível realizar o teste para os seus dados porque as idades das atrizes e dos atores não foram fornecidas.

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