Deseja-se representar a função linear f(x)=x-1 definida no intervalo 0<x<1.
(a) Calcule os coeficientes a_{0} e a_{n} para a expansão de f(x) em uma série de cossenos de Fourier.
(b) Mostre, através da integração por partes, que os coeficientes de índice par ( n par) são nulos.
(c) Escreva a série de Fourier final explicitando os primeiros termos de índice ímpar.
Passo 1
O enunciado nos dá a função f(x)=x-1 definida no intervalo 0<x<1 e pede três coisas:
(a) calcular os coeficientes a_{0} e a_{n} para a expansão de f(x) em uma série de cossenos de Fourier;
(b) mostrar, através de integração por partes, que os coeficientes de índice par ( n par) são nulos;
(c) escrever a série de Fourier final explicitando os primeiros termos de índice ímpar.
Informações relevantes fornecidas:
A função é f(x)=x-1 no intervalo 0<x<1.
A expansão pedida é uma série de cossenos (ou seja, série de Fourier do tipo cosseno em 0<x<1).
Passo 2
Vamos lembrar qual é a forma padrão da série de cossenos em [[0,1]) e como se obtêm os coeficientes (explicando bem para usar na prova).
Ao projetar f\] sobre \(\cos(n\pi x) multiplica-se por 2 para cancelar esse \tfrac{1}{2}. Isso é a mesma ideia da projeção em um espaço vetorial: coeficiente = (produto interno com a base)/(norma² da base).