Deseja-se representar a função linear f(x)=x-1 definida no intervalo 0<x<1.
(a) Calcule os coeficientes a_{0} e a_{n} para a expansão de f(x) em uma série de cossenos de Fourier.
(b) Mostre, através da integração por partes, que os coeficientes de índice par ( n par) são nulos.
(c) Escreva a série de Fourier final explicitando os primeiros termos de índice ímpar.

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=x-1 definida no intervalo 0<x<1 e pede três coisas:
  • (a) calcular os coeficientes a_{0} e a_{n} para a expansão de f(x) em uma série de cossenos de Fourier;
  • (b) mostrar, através de integração por partes, que os coeficientes de índice par ( n par) são nulos;
  • (c) escrever a série de Fourier final explicitando os primeiros termos de índice ímpar.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x)=x-1 no intervalo 0<x<1.
  • A expansão pedida é uma série de cossenos (ou seja, série de Fourier do tipo cosseno em 0<x<1).

Passo 2

Vamos lembrar qual é a forma padrão da série de cossenos em [[0,1]) e como se obtêm os coeficientes (explicando bem para usar na prova).
Forma da série (convencional):
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos(n\pi x),
onde as funções \cos(n\pi x) servem de base ortogonal no intervalo [0,1].
Fórmulas dos coeficientes (razão da normalização):
a_0 = 2\int_0^1 f(x)\,dx, \qquad a_n = 2\int_0^1 f(x)\cos(n\pi x)\,dx\quad (n\ge1).
Por que esse fator 2? Porque a ortogonalidade dá
\int_0^1 \cos(n\pi x)\cos(m\pi x)\,dx= \begin{cases} 0,& n\ne m,\\[4pt] \frac{1}{2},& n=m\ne0. \end{cases}
Ao projetar f\] sobre \(\cos(n\pi x) multiplica-se por 2 para cancelar esse \tfrac{1}{2}. Isso é a mesma ideia da projeção em um espaço vetorial: coeficiente = (produto interno com a base)/(norma² da base).
Agora aplicamos essas fórmulas à nossa f(x)=x-1.]

Passo 3

Cálculo de a_0 passo a passo.
Pela fórmula,
a_0 = 2\int_0^1 (x-1)\,dx.
Calcule a integral:
\int_0^1 (x-1)\,dx=\left[\frac{x^2}{2}-x\right]_0^1=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}.
Multiplicando por 2:
a_0 = 2\left(-\frac{1}{2}\right)=-1.
Portanto a_0=-1 (e, na série, o termo constante será \dfrac{a_0}{2}=-\dfrac{1}{2}).

Passo 4

Cálculo de a_n para n\ge1 — desenvolvimento detalhado e didático com integração por partes.
Partimos da fórmula:
a_n = 2\int_0^1 (x-1)\cos(n\pi x)\,dx.
Separe a integral em duas partes:
\int_0^1 (x-1)\cos(n\pi x)\,dx = \int_0^1 x\cos(n\pi x)\,dx - \int_0^1 \cos(n\pi x)\,dx.
Avalie a segunda integral primeiro (é simples):
\int_0^1 \cos(n\pi x)\,dx = \left.\frac{\sin(n\pi x)}{n\pi}\right|_0^1 = \frac{\sin(n\pi)}{n\pi}-0 = 0,
pois \sin(n\pi)=0 para todo inteiro n. Logo a segunda parcela é nula.
Ficamos então com
\int_0^1 (x-1)\cos(n\pi x)\,dx = \int_0^1 x\cos(n\pi x)\,dx.
Agora calcule \displaystyle \int_0^1 x\cos(n\pi x)\,dx por integração por partes. Escolha:
u=x,\qquad dv=\cos(n\pi x)\,dx.
Então
du=dx,\qquad v=\frac{\sin(n\pi x)}{n\pi}.
Aplicando integração por partes \int u\,dv = uv - \int v\,du:
\int_0^1 x\cos(n\pi x)\,dx =\left. x\cdot\frac{\sin(n\pi x)}{n\pi}\right|_0^1 - \int_0^1 \frac{\sin(n\pi x)}{n\pi}\,dx.
Avalie o termo de fronteira:
\left. x\cdot\frac{\sin(n\pi x)}{n\pi}\right|_0^1 = \frac{1\cdot\sin(n\pi)}{n\pi}-0 = 0.
Portanto
\int_0^1 x\cos(n\pi x)\,dx = -\frac{1}{n\pi}\int_0^1 \sin(n\pi x)\,dx.
Calcule agora \int_0^1 \sin(n\pi x)\,dx:
\int_0^1 \sin(n\pi x)\,dx = \left.-\frac{\cos(n\pi x)}{n\pi}\right|_0^1 = -\frac{\cos(n\pi)-\cos 0}{n\pi} = -\frac{(-1)^n - 1}{n\pi}.
Substituindo:
\int_0^1 x\cos(n\pi x)\,dx = -\frac{1}{n\pi}\left(-\frac{(-1)^n - 1}{n\pi}\right) = \frac{(-1)^n - 1}{(n\pi)^2}.
Logo (lembrando que a segunda parcela era zero)
\int_0^1 (x-1)\cos(n\pi x)\,dx = \frac{(-1)^n - 1}{(n\pi)^2}.
Multiplicando por 2 para obter a_n:
a_n = 2\cdot\frac{(-1)^n - 1}{(n\pi)^2}=\frac{2\bigl((-1)^n - 1\bigr)}{(n\pi)^2}.

Passo 5

Conclusão sobre paridade dos coeficientes (resposta ao item (b)).
Observe a expressão encontrada:
a_n=\frac{2\bigl((-1)^n-1\bigr)}{(n\pi)^2}.
  • Se n é par então (-1)^n=1, daí (-1)^n-1=0 e, portanto, a_n=0.
  • Se n é ímpar então (-1)^n=-1, daí (-1)^n-1=-2 e
a_n=\frac{2(-2)}{(n\pi)^2}=-\frac{4}{n^2\pi^2}\quad\text{(para \(n\) ímpar).}í
Assim a integração por partes (feita no passo anterior) mostrou explicitamente que para n par os coeficientes anulam-se.

Passo 6

Escrevendo a série final (item (c)), colocando apenas os termos de índice ímpar (já que os pares são zero) e exibindo os primeiros termos.
Primeiro, a constante:
\frac{a_0}{2}=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}.
Para n=2k+1 (ímpares) temos
a_{2k+1}=-\frac{4}{(2k+1)^2\pi^2}.
Portanto a série de cossenos fica
x-1 \sim -\frac{1}{2} - \frac{4}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\cos\bigl((2k+1)\pi x\bigr)}{(2k+1)^2}.
Os primeiros termos explícitos (índices n=1,3,5) são:
x-1 \sim -\frac{1}{2} - \frac{4}{\pi^2}\left(\frac{\cos(\pi x)}{1^2}+\frac{\cos(3\pi x)}{3^2}+\frac{\cos(5\pi x)}{5^2}+\cdots\right).

Resposta

(a) a_0=-1 \quad e \quad a_n=\dfrac{2\bigl((-1)^n-1\bigr)}{(n\pi)^2} para n\ge1.\n
(b) Para n par tem-se a_n=0.\n
(c) x-1 \sim -\frac{1}{2}-\frac{4}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\cos\bigl((2k+1)\pi x\bigr)}{(2k+1)^2},
cuja forma explícita nos primeiros termos é
x-1 \sim -\frac{1}{2}-\frac{4}{\pi^2}\left(\cos(\pi x)+\frac{\cos(3\pi x)}{9}+\frac{\cos(5\pi x)}{25}+\cdots\right).

Exercícios relacionados