Determine a solução y(x) para a seguinte equação diferencial ordinária utilizando o método da Transformada de Fourier:
y^{\prime \prime}(x)+4 y^{\prime}(x)+4 y(x)=e^{-2 x} \mu(x)
onde \mu(x) representa a função degrau de Heaviside.
(a) Aplique a Transformada de Fourier em ambos os lados da equação e isole \mathcal{F}\{y(x)\} no domínio da frequência \alpha.
(b) Obtenha a solução no domínio do tempo y(x) utilizando o Teorema da Convolução.
(c) Alternativamente, resolva o problema utilizando a técnica de decomposição em frações parciais e a tabela de transformadas inversas, justificando o comportamento físico da solução para x \rightarrow \infty.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária
y''(x)+4y'(x)+4y(x)=e^{-2x}\mu(x),
onde \mu(x) é a função degrau de Heaviside. O que se pede:
(a) aplicar a Transformada de Fourier em ambos os lados e isolar \mathcal{F}\{y(x)\}(\alpha);
(b) obter a solução no domínio do tempo y(x) usando o Teorema da Convolução;
(c) resolver alternativamente por decomposição em frações parciais / tabela de transformadas inversas e justificar o comportamento físico quando x\to\infty.
Informações dadas e observações úteis (diretas do enunciado):
  • A parte forçante é f(x)=e^{-2x}\mu(x) (função causal: nula para x<0).
  • Coeficientes constantes do lado esquerdo: 1,4,4 (característica com raiz dupla).
  • Não foram fornecidas condições iniciais explícitas; adotaremos a solução causal (resposta com condições nulas antes de x=0), que é a escolha natural para um sistema LTI excitado por f(x) ativado em x=0.

Passo 2

Definição e propriedades que vamos usar (mini-aula rápida):
  • Definição da Transformada de Fourier (convenção usada aqui):
\mathcal{F}\{g(x)\}(\alpha)=\int_{-\infty}^{\infty} g(x)e^{-i\alpha x}\,dx.
  • Propriedade das derivadas (válida para funções/distribuições adequadas, em particular para soluções causais de crescimento controlado):
\mathcal{F}\{g'(x)\}(\alpha)=i\alpha\,\mathcal{F}\{g(x)\}(\alpha), \qquad \mathcal{F}\{g''(x)\}(\alpha)=(i\alpha)^2\mathcal{F}\{g(x)\}(\alpha).
  • Transformada da exponencial causal: para \Re(a)>0,
\mathcal{F}\{e^{-a x}\mu(x)\}(\alpha)=\int_0^{\infty} e^{-a x}e^{-i\alpha x}\,dx=\frac{1}{a+i\alpha}.
Explicação curta: a integral é uma integral geométrica \int_0^\infty e^{-(a+i\alpha)x}dx=(a+i\alpha)^{-1} quando \Re(a)>0.

Passo 3

Aplicando a Transformada de Fourier termo a termo à EDO e usando as propriedades acima (assumindo solução causal suficiente para justificar troca de transformada e derivada):
  • Transformada do lado esquerdo:
\mathcal{F}\{y''\}+4\mathcal{F}\{y'\}+4\mathcal{F}\{y\} =(i\alpha)^2 Y(\alpha)+4(i\alpha)Y(\alpha)+4Y(\alpha),
onde escrevemos Y(\alpha)=\mathcal{F}\{y\}(\alpha).
  • Agrupando:
\big((i\alpha)^2+4(i\alpha)+4\big)Y(\alpha)=(i\alpha+2)^2 Y(\alpha).
  • Transformada do lado direito (pegando que o dado da força é e^{-2x}\mu(x)):
\mathcal{F}\{e^{-2x}\mu(x)\}(\alpha)=\frac{1}{2+i\alpha}.
  • Igualando e isolando Y(\alpha):
(i\alpha+2)^2\,Y(\alpha)=\frac{1}{2+i\alpha} \quad\Longrightarrow\quad Y(\alpha)=\frac{1}{(2+i\alpha)^3}.
Observação: escrevendo 2+i\alpha=i\alpha+2 fica evidente que
\boxed{\mathcal{F}\{y\}(\alpha)=\dfrac{1}{(i\alpha+2)^3}.}
Isto responde a parte (a).

Passo 4

Usando o Teorema da Convolução para voltar ao domínio do tempo (parte b). Ideia: se
H(\alpha)=\mathcal{F}\{h(x)\}(\alpha)=\frac{1}{i\alpha+2},
então \mathcal{F}^{-1}\{H(\alpha)\}=h(x)=e^{-2x}\mu(x). Como
Y(\alpha)=H(\alpha)^3,
a transformada inversa é a convolução tripla
y(x)=(h*h*h)(x),
onde (f*g)(x)=\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)g(x-\tau)\,d\tau.
Vamos calcular passo a passo (cálculo explícito é didático e simples porque h é causal):
  1. Primeiro convólucro h*h:
(h*h)(x)=\int_{-\infty}^{\infty} h(\tau)h(x-\tau)\,d\tau =\int_{0}^{x} e^{-2\tau} e^{-2(x-\tau)}\,d\tau
(obs.: os limites são de 0 a x porque h(\tau)=0 para \tau<0 e h(x-\tau)=0 para \tau>x). Simplificando:
(h*h)(x)=e^{-2x}\int_0^x d\tau = x e^{-2x},\qquad x\ge 0.
  1. Agora h*h*h=(h*h)*h:
(h*h*h)(x)=\int_0^x (h*h)(\tau)h(x-\tau)\,d\tau =\int_0^x \tau e^{-2\tau}\, e^{-2(x-\tau)}\,d\tau =e^{-2x}\int_0^x \tau\,d\tau =e^{-2x}\frac{x^2}{2}.
Portanto, para x\ge 0,
y(x)=\frac{x^2}{2}e^{-2x},
e para x<0 vale y(x)=0 (causalidade). Em forma compacta com o degrau:
\boxed{y(x)=\frac{1}{2}x^2 e^{-2x}\mu(x).}
Isto responde a parte (b).

Passo 5

Alternativa: decomposição / tabela de transformadas inversas (parte c) — mini-aula e interpretação física.
  • Fórmula útil da tabela (que pode ser demonstrada por diferenciação sob o integral):
\mathcal{F}\{x^n e^{-a x}\mu(x)\}(\alpha)=\frac{n!}{(a+i\alpha)^{\,n+1}},\qquad \Re(a)>0,\\ n\in\mathbb{N}_0.
  • Aplicando com a=2 e n=2 obtemos
\mathcal{F}\left\{\frac{1}{2}x^2 e^{-2x}\mu(x)\right\}(\alpha) =\frac{1}{2}\cdot\frac{2!}{(2+i\alpha)^3}=\frac{1}{(2+i\alpha)^3},
logo a inversa de 1/(i\alpha+2)^3 é exatamente y(x)=\tfrac{1}{2}x^2 e^{-2x}\mu(x). Essa é a técnica “tabela + reconhecimento de potências” pedida.
  • Interpretação física / comportamento quando x\to\infty: a solução é do tipo polinômio de grau 2 vezes e^{-2x}. Exponencial negativa domina o crescimento polinomial, logo
\lim_{x\to\infty} y(x)=0.
Isso faz sentido fisicamente: o sistema linear com polos em s=-2 (raiz dupla) é estável e, sob excitação causal e^{-2x}\mu(x), a resposta transiente é do tipo x^k e^{-2x} (a multiplicidade do polo força um fator polinomial), o que decai para zero à medida que x\to\infty. Para completar a intuição: a solução geral da homogênea é (C_1+C_2 x)e^{-2x}; o termo particular que encontramos também tem fator e^{-2x} multiplicado por um polinômio — por ressonância com a raiz dupla — e com condições iniciais nulas a solução total é somente essa resposta forçada, que decai para zero.

Resposta

(a) \displaystyle \mathcal{F}\{y\}(\alpha)=\dfrac{1}{(i\alpha+2)^3}.
(b) \displaystyle y(x)=\dfrac{1}{2}x^2 e^{-2x}\mu(x) (ou seja, y(x)=0 para x<0 e y(x)=\tfrac{1}{2}x^2 e^{-2x} para x\ge 0).
(c) Pela tabela / decomposição obtemos a mesma inversa \displaystyle y(x)=\tfrac{1}{2}x^2 e^{-2x}\mu(x); fisicamente y(x)\to 0 quando x\to\infty (exponencial domina o polinômio).

Exercícios relacionados