Determine a solução
para a seguinte equação diferencial ordinária utilizando o método da Transformada de Fourier:
onde
representa a função degrau de Heaviside.
(a) Aplique a Transformada de Fourier em ambos os lados da equação e isole
no domínio da frequência
.
(b) Obtenha a solução no domínio do tempo
utilizando o Teorema da Convolução.
(c) Alternativamente, resolva o problema utilizando a técnica de decomposição em frações parciais e a tabela de transformadas inversas, justificando o comportamento físico da solução para
.
(a) Aplique a Transformada de Fourier em ambos os lados da equação e isole
(b) Obtenha a solução no domínio do tempo
(c) Alternativamente, resolva o problema utilizando a técnica de decomposição em frações parciais e a tabela de transformadas inversas, justificando o comportamento físico da solução para
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária
onde
é a função degrau de Heaviside. O que se pede:
(a) aplicar a Transformada de Fourier em ambos os lados e isolar ;
(b) obter a solução no domínio do tempo usando o Teorema da Convolução;
(c) resolver alternativamente por decomposição em frações parciais / tabela de transformadas inversas e justificar o comportamento físico quando .
(a) aplicar a Transformada de Fourier em ambos os lados e isolar
(b) obter a solução no domínio do tempo
(c) resolver alternativamente por decomposição em frações parciais / tabela de transformadas inversas e justificar o comportamento físico quando
Informações dadas e observações úteis (diretas do enunciado):
- A parte forçante é
(função causal: nula para ). - Coeficientes constantes do lado esquerdo:
(característica com raiz dupla). - Não foram fornecidas condições iniciais explícitas; adotaremos a solução causal (resposta com condições nulas antes de
), que é a escolha natural para um sistema LTI excitado por ativado em .
Passo 2
Definição e propriedades que vamos usar (mini-aula rápida):
- Definição da Transformada de Fourier (convenção usada aqui):
- Propriedade das derivadas (válida para funções/distribuições adequadas, em particular para soluções causais de crescimento controlado):
- Transformada da exponencial causal: para
,
Explicação curta: a integral é uma integral geométrica
quando
.
Passo 3
Aplicando a Transformada de Fourier termo a termo à EDO e usando as propriedades acima (assumindo solução causal suficiente para justificar troca de transformada e derivada):
- Transformada do lado esquerdo:
onde escrevemos
.
- Agrupando:
- Transformada do lado direito (pegando que o dado da força é
):
- Igualando e isolando
:
Observação: escrevendo
fica evidente que
Isto responde a parte (a).
Passo 4
Usando o Teorema da Convolução para voltar ao domínio do tempo (parte b). Ideia: se
então
. Como
a transformada inversa é a convolução tripla
onde
.
Vamos calcular passo a passo (cálculo explícito é didático e simples porque
é causal):
- Primeiro convólucro
:
(obs.: os limites são de
a
porque
para
e
para
). Simplificando:
- Agora
:
Portanto, para
,
e para
vale
(causalidade). Em forma compacta com o degrau:
Isto responde a parte (b).
Passo 5
Alternativa: decomposição / tabela de transformadas inversas (parte c) — mini-aula e interpretação física.
- Fórmula útil da tabela (que pode ser demonstrada por diferenciação sob o integral):
- Aplicando com
e obtemos
logo a inversa de
é exatamente
. Essa é a técnica “tabela + reconhecimento de potências” pedida.
- Interpretação física / comportamento quando
: a solução é do tipo polinômio de grau vezes . Exponencial negativa domina o crescimento polinomial, logo
Isso faz sentido fisicamente: o sistema linear com polos em
(raiz dupla) é estável e, sob excitação causal
, a resposta transiente é do tipo
(a multiplicidade do polo força um fator polinomial), o que decai para zero à medida que
. Para completar a intuição: a solução geral da homogênea é
; o termo particular que encontramos também tem fator
multiplicado por um polinômio — por ressonância com a raiz dupla — e com condições iniciais nulas a solução total é somente essa resposta forçada, que decai para zero.
Resposta
(a)
(b) (ou seja,
para
e
para
).
(c) Pela tabela / decomposição obtemos a mesma inversa ; fisicamente
quando
(exponencial domina o polinômio).
(b)
(c) Pela tabela / decomposição obtemos a mesma inversa