Uma esfera de um polímero especial, de 25 cm de diâmetro e inicialmente a 20^circ C, é imersa em um banho de água com temperatura constante igual a 80^circ C. Um termopar colocado no centro da esfera indicou uma temperatura igual à 53 ^circ C depois 3 minutos da imersão. As propriedades termofísicas do material que compõe a esfera são: k=0,19 kW / m K ; c=1,67 kJ / kg K e massa específica igual a 1200 kg / m^3 : a) A partir desses dados, estime o coeficiente de transferência de calor convectivo médio entre a água e a esfera b) Realiza-se agora um experimento similar, preenchendo uma esfera oca de cobre (parede fina) com um purê de frutas. Coloca-se essa esfera no banho e observa-se que a temperatura do centro da mesma alcança 50^circ C em 30 minutos. Qual é a condutividade térmica do purê de frutas? Dados do purê: c=3,97 kJ / kg K e rho=1060 kg / m^3. Considere que não há convecção no interior do purê.

Passo 1

O enunciado trata de um problema de condução transiente em esfera com convecção na superfície (banho a Tinfty=80 ^circC). No item (a) temos uma esfera maciça de polímero de raio R=0,125 m cujas propriedades ( k,rho,c) são dadas, imersa de 20 ^circC em 80 ^circC, e após t=3 min o centro atinge 53 ^circC. Vamos estimar o coeficiente convectivo médio h usando o método da capacitância concentrada (lumped capacitance), que vale quando o número de Biot satisfaz Bi=hLc/k<0,1, com Lc=V/A=R/3.
No item (b) repetimos no mesmo banho uma esfera oca de cobre (parede fina) contendo purê (sem convecção interna) e, aos 30 min, o centro atinge 50 ^circC. Com h do item (a) e conhecendo rho e c do purê, estimamos a condutividade k do purê usando a solução em série (primeiro termo da expansão para esfera com superfície a temperatura constante).

Passo 2

Verificamos a aplicabilidade da metodologia lumped à esfera de polímero (item a).
Lc=VA=tfrac43pi R^34pi R^2= R3=0,125/3=0,0417 m
Pressupondo Bi=hLc/k<=sssim0,1, podemos usar
Tinfty-T(t)Tinfty-Ti =exp!l(-hArho cV,tr)
Aqui Ti=20 ^circ C, T(3min)=53 ^circ C, Tinfty=80 ^circ C,
80-5380-20=exp!l(-hArho cV,180r)

Passo 3

Calculamos as grandezas geométricas e de armazenamento térmico:
V=tfrac43pi R^3=tfrac43pi(0,125)^3=0,008181 m^3, A=4pi R^2=4pi(0,125)^2=0,19635 m^2,
rho cV=1200cdot1670cdot0,008181=1,6389times10^4 J/K
Logo
exp(-tfrachcdot0,196351,6389times10^4cdot180) =0,45 Longrightarrow -h,0,19635cdot1801,6389times10^4=ln0,45=-0,7985,
h=0,7985,(1,6389times10^4)0,19635cdot180 approx370 W/(m^2K)
Verifica-se Bi=370cdot0,0417/190approx0,081<0,1, consistente.

Passo 4

No item (b), a esfera de cobre fina transfere calor diretamente ao purê, que não faz convecção interna. A convecção externa é a mesma, h=370 W/(m^2K). Como o coeficiente de convecção é alto ( Bi=hR/kgg1 para k típico de purê), assumimos que a superfície interna do purê fica praticamente à Tinfty. Assim usamos a primeira ordem da solução em série para esfera com superfície a temperatura constante:
Tinfty-T(0,t)Tinfty-Ti approx6pi^2exp!l(-pi^2alpha,tR^2r),
onde alpha=k/(rho c). Aqui Ti=20 ^circ C, T(30min)=50 ^circ C, t=1800 s. Logo
80-5080-20=0,5 approx6pi^2exp!l(-pi^2alphacdot1800(0,125)^2r)

Passo 5

Calculamos alpha e em seguida k:
6pi^2=0,6079, exp!l(-pi^2alphacdot18000,015625r) =0,50,6079=0,8228,
-pi^2alphacdot18000,015625=ln0,8228=-0,195, alpha=0,195cdot0,015625pi^2cdot1800 =1,72times10^-7 m^2/s
Finalmente, com rho=1060 kg/m^3 e c=3970 J/(kg,K),
k=rho,c,alpha =1060cdot3970cdot1,72times10^-7 approx0,72 W/(m,K)

Resposta

a) happrox370 W/(m^2K)
b) kpurêapprox0,72 W/(m,K)ê

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