A avaliação de posições relativas (entre pontos e retas, retas e planos e afins) é uma possibilidade de estudar distâncias de forma mais abrangente, podendo ser aplicadas de inúmeras formas na engenharia como na medida de distâncias entre estruturas. Também muito útil nesses casos é verificar as condições (paralelos perpendiculares) entre si. Deseja-se acoplar duas chapas metálicas e para isso deve-se avaliar se estas estão completamente paralelas entre si. Sabendo as equações dos planos nos quais as placas estão contidas são:
\begin{gathered} \text { PLANO 1: } 5 x-6 y+2 z-7=0 \\\ \text { PLANO 2: }-10 x+12 y-4 z-14=0 \end{gathered}
Texto elaborado pelo Professor, 2018.
Sobre os dois planos, avalie as afirmações a seguir:
I. Os planos são paralelos e a distância entre os dois planos é maior que 1 unidade de medida.
II. Os planos serão perpendiculares.
III. Os planos são paralelos e a distância entre os dois planos é maior que 2 unidades de medida.
IV. Os planos são não coincidentes.
É correto apenas o que se afirma em:

Passo 1

O enunciado dá dois planos
\text{PLANO 1: }5x - 6y + 2z - 7 = 0
\text{PLANO 2: }-10x + 12y - 4z - 14 = 0
O conteúdo é posições relativas de planos: vamos verificar se são paralelos ou perpendiculares, se coincidem e calcular a distância entre eles.

Passo 2

Extraímos os vetores normais
\mathbf{n}_1 = (5,\, -6,\, 2), \quad \mathbf{n}_2 = (-10,\, 12,\, -4).
Observamos que \mathbf{n}_2 = -2\,\mathbf{n}_1, logo os planos são paralelos (e não perpendiculares, pois o produto escalar não é zero).

Passo 3

Para ver se coincidem, dividimos a equação do PLANO 2 por -2:
5x -6y +2z +7 = 0.
Comparando com o PLANO 1 ( 5x-6y+2z-7=0), os termos constantes -7 e +7 são diferentes, portanto os planos são paralelos e distintos (não coincidentes).

Passo 4

Para calcular a distância entre dois planos paralelos
5x -6y +2z +D_1 = 0 \quad\text{e}\quad 5x -6y +2z +D_2 = 0
usa-se
\text{dist} = \frac{|D_2 - D_1|}{\sqrt{5^2 + (-6)^2 + 2^2}}.
Aqui D_1 = -7 e D_2 = +7, e \|\mathbf{n}_1\| = \sqrt{25 + 36 + 4} = \sqrt{65}. Logo
\text{dist} = \frac{|7 - (-7)|}{\sqrt{65}} = \frac{14}{\sqrt{65}} \approx 1{,}736.

Passo 5

Comparando com as afirmativas:
I. São paralelos e a distância é maior que 1? 1{,}736 > 1 → verdade.
II. Serão perpendiculares? Não → falso.
III. São paralelos e a distância é maior que 2? 1{,}736 > 2 → falso.
IV. São não coincidentes? Sim → verdade.

Resposta

I e IV são corretas.

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