Um elevador com massa de 2.500 kg encontra-se a 10 m acima da base do poço do elevador. Ele é elevado a 100 m acima da base do poço, onde um cabo de sustentação se rompe. O elevador cai em queda livre até a base do poço onde colide com uma forte mola. A mola é projetada para desacelerar o elevador até o repouso e, por um dispositivo de captura, mantê-lo na posição de máxima compressão da mola. Admitindo que não haja atrito no processo e considerando
, calcule:
a) A energia potencial do elevador em sua posição inicial em relação à base do poço;
b) O trabalho realizado para elevar o elevador;
c) A velocidade e a energia cinética do elevador no instante anterior à colisão com a mola;
d) A energia potencial da mola comprimida.
Resposta: a)
a) A energia potencial do elevador em sua posição inicial em relação à base do poço;
b) O trabalho realizado para elevar o elevador;
c) A velocidade e a energia cinética do elevador no instante anterior à colisão com a mola;
d) A energia potencial da mola comprimida.
Passo 1
Resumo do enunciado e dados fornecidos (copiando tudo que é importante para não nos perder): \n
- Massa do elevador:
. \n - O elevador está inicialmente a
acima da base do poço. \n - Ele é elevado até
acima da base; nesse ponto o cabo se rompe e ele cai em queda livre até a base (altura ). \n - No fundo há uma mola que comprime até parar o elevador; há um dispositivo que mantém o elevador na posição de máxima compressão da mola. \n
- Desprezamos atrito e perdas;
. \n
O que o enunciado pede: \n
a) A energia potencial do elevador em sua posição inicial (referida à base do poço). \n
b) O trabalho realizado para elevar o elevador deaté . \n
c) A velocidade e a energia cinética do elevador no instante imediatamente anterior à colisão com a mola (ou seja, ao chegar à base). \n
d) A energia armazenada (energia potencial elástica) na mola comprimida quando o elevador é parado. \n
Passo 2
Conceito e cálculo da energia potencial gravitacional (item a). \n
A energia potencial gravitacional de um corpo, referida a uma referência onde a energia potencial vale zero (aqui a base do poço), é dada pela fórmula \n
A energia potencial gravitacional de um corpo, referida a uma referência onde a energia potencial vale zero (aqui a base do poço), é dada pela fórmula \n
onde
é a energia potencial (em joules),
é a massa (em kg),
é a aceleração da gravidade (em
) e
é a altura (em m) medida a partir da referência. \n
Aplicando aos dados iniciais: ,
e
. \n
Calculemos passo a passo: \n
Aplicando aos dados iniciais:
Calculemos passo a passo: \n
Primeiro
. Em seguida
. \n
Logo,
Logo,
Convertendo para quilojoules (dividindo por
): \n
Passo 3
Conceito e cálculo do trabalho necessário para elevar o elevador de
até
(item b). \n
Quando não há atrito, o trabalho necessário para elevar um corpo contra a gravidade é igual à variação da energia potencial gravitacional: \n
Quando não há atrito, o trabalho necessário para elevar um corpo contra a gravidade é igual à variação da energia potencial gravitacional: \n
onde
é a variação de altura final menos inicial. \n
Aqui a variação de altura é . \n
Portanto,
Aqui a variação de altura é
Portanto,
Calculemos:
. Depois
. \n
Assim,
Assim,
Esse é o trabalho que o motor (ou a força que elevou) realizou contra a gravidade.
Passo 4
Determinar a velocidade ao chegar à base e a energia cinética correspondente (item c). \n
Explicação física: quando o cabo se rompe no ponto de , o elevador começa a cair em queda livre. Desprezando resistência do ar, a energia mecânica é conservada: a energia potencial gravitacional no topo (
) transforma-se totalmente em energia cinética ao chegar à base (
). \n
Escrevemos a conservação entre o instante imediatamente após o rompimento (repouso em ) e o instante imediatamente antes da colisão (na base): \n
Explicação física: quando o cabo se rompe no ponto de
Escrevemos a conservação entre o instante imediatamente após o rompimento (repouso em
Podemos cancelar
dos dois lados (a velocidade de queda não depende da massa quando só a gravidade atua), obtendo \n
Substituindo
e
: \n
Logo
Calculando a raiz:
. Arredondando de forma compatível com enunciado, \n
Agora a energia cinética no instante anterior à colisão é dada por
. Mas pela conservação já sabemos que
. Calculamos diretamente: \n
Convertendo para kJ:
Passo 5
Energia armazenada na mola comprimida (item d). \n
Quando o elevador colide com a mola e é trazido ao repouso na máxima compressão da mola, a energia cinética que ele tinha no instante da colisão é transformada em energia potencial elástica da mola (assumindo que não há perdas e que o dispositivo “trava” o elevador na compressão máxima, impedindo retorno). Portanto a energia armazenada na mola é igual à energia cinética imediatamente antes do impacto. \n
Assim,
Quando o elevador colide com a mola e é trazido ao repouso na máxima compressão da mola, a energia cinética que ele tinha no instante da colisão é transformada em energia potencial elástica da mola (assumindo que não há perdas e que o dispositivo “trava” o elevador na compressão máxima, impedindo retorno). Portanto a energia armazenada na mola é igual à energia cinética imediatamente antes do impacto. \n
Assim,
Resposta
a)
\n
b) \n
c) \n
d)
b)
c)
d)