Um elevador com massa de 2.500 kg encontra-se a 10 m acima da base do poço do elevador. Ele é elevado a 100 m acima da base do poço, onde um cabo de sustentação se rompe. O elevador cai em queda livre até a base do poço onde colide com uma forte mola. A mola é projetada para desacelerar o elevador até o repouso e, por um dispositivo de captura, mantê-lo na posição de máxima compressão da mola. Admitindo que não haja atrito no processo e considerando g=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s} 2, calcule:
a) A energia potencial do elevador em sua posição inicial em relação à base do poço;
b) O trabalho realizado para elevar o elevador;
c) A velocidade e a energia cinética do elevador no instante anterior à colisão com a mola;
d) A energia potencial da mola comprimida.
Resposta: a) \mathbf{2 4 5 ~ k J ~ b ) ~} \mathbf{2 . 2 0 5 ~ k J ~ c ) ~} \mathbf{4 4 , 3 ~ m / s ~ d ) ~} \mathbf{2 . 4 5 0 ~ k J}

Passo 1

Resumo do enunciado e dados fornecidos (copiando tudo que é importante para não nos perder): \n
  • Massa do elevador: m=2500\\ \mathrm{kg}. \n
  • O elevador está inicialmente a 10\\ \mathrm{m} acima da base do poço. \n
  • Ele é elevado até 100\\ \mathrm{m} acima da base; nesse ponto o cabo se rompe e ele cai em queda livre até a base (altura 0). \n
  • No fundo há uma mola que comprime até parar o elevador; há um dispositivo que mantém o elevador na posição de máxima compressão da mola. \n
  • Desprezamos atrito e perdas; g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}. \n
    O que o enunciado pede: \n
    a) A energia potencial do elevador em sua posição inicial (referida à base do poço). \n
    b) O trabalho realizado para elevar o elevador de 10\\ \mathrm{m} até 100\\ \mathrm{m}. \n
    c) A velocidade e a energia cinética do elevador no instante imediatamente anterior à colisão com a mola (ou seja, ao chegar à base). \n
    d) A energia armazenada (energia potencial elástica) na mola comprimida quando o elevador é parado. \n

Passo 2

Conceito e cálculo da energia potencial gravitacional (item a). \n
A energia potencial gravitacional de um corpo, referida a uma referência onde a energia potencial vale zero (aqui a base do poço), é dada pela fórmula \n
U = m g h,
onde U é a energia potencial (em joules), m é a massa (em kg), g é a aceleração da gravidade (em \mathrm{m/s^2}) e h é a altura (em m) medida a partir da referência. \n
Aplicando aos dados iniciais: m=2500\\ \mathrm{kg}, g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2} e h=10\\ \mathrm{m}. \n
Calculemos passo a passo: \n
U_{\text{inicial}} = m g h = 2500 \times 9{,}8 \times 10.
Primeiro 2500\times 10 = 25000. Em seguida 25000 \times 9{,}8 = 245000. \n
Logo,
U_{\text{inicial}} = 245000\\ \mathrm{J}.
Convertendo para quilojoules (dividindo por 1000): \n
U_{\text{inicial}} = 245\\ \mathrm{kJ}.

Passo 3

Conceito e cálculo do trabalho necessário para elevar o elevador de 10\\ \mathrm{m} até 100\\ \mathrm{m} (item b). \n
Quando não há atrito, o trabalho necessário para elevar um corpo contra a gravidade é igual à variação da energia potencial gravitacional: \n
W = \Delta U = m g \Delta h,
onde \Delta h é a variação de altura final menos inicial. \n
Aqui a variação de altura é \Delta h = 100 - 10 = 90\\ \mathrm{m}. \n
Portanto,
W = 2500 \times 9{,}8 \times 90.
Calculemos: 9{,}8\times 90 = 882. Depois 2500\times 882 = 2\,205\,000. \n
Assim,
W = 2\,205\,000\\ \mathrm{J} = 2205\\ \mathrm{kJ}.
Esse é o trabalho que o motor (ou a força que elevou) realizou contra a gravidade.

Passo 4

Determinar a velocidade ao chegar à base e a energia cinética correspondente (item c). \n
Explicação física: quando o cabo se rompe no ponto de 100\\ \mathrm{m}, o elevador começa a cair em queda livre. Desprezando resistência do ar, a energia mecânica é conservada: a energia potencial gravitacional no topo ( h=100\\ \mathrm{m}) transforma-se totalmente em energia cinética ao chegar à base ( h=0). \n
Escrevemos a conservação entre o instante imediatamente após o rompimento (repouso em 100\\ \mathrm{m}) e o instante imediatamente antes da colisão (na base): \n
m g h_{\text{topo}} = \tfrac{1}{2} m v^2.
Podemos cancelar m dos dois lados (a velocidade de queda não depende da massa quando só a gravidade atua), obtendo \n
v^2 = 2 g h_{\text{topo}}.
Substituindo g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2} e h_{\text{topo}}=100\\ \mathrm{m}: \n
v^2 = 2 \times 9{,}8 \times 100 = 1960.
Logo
v = \sqrt{1960}.
Calculando a raiz: \sqrt{1960}\approx 44{,}271887\\ \mathrm{m/s}. Arredondando de forma compatível com enunciado, \n
v \approx 44{,}3\\ \mathrm{m/s}.
Agora a energia cinética no instante anterior à colisão é dada por \displaystyle K=\tfrac{1}{2} m v^2. Mas pela conservação já sabemos que \tfrac{1}{2} m v^2 = m g h_{\text{topo}}. Calculamos diretamente: \n
K = m g h_{\text{topo}} = 2500 \times 9{,}8 \times 100 = 2\,450\,000\\ \mathrm{J}.
Convertendo para kJ:
K = 2450\\ \mathrm{kJ}.

Passo 5

Energia armazenada na mola comprimida (item d). \n
Quando o elevador colide com a mola e é trazido ao repouso na máxima compressão da mola, a energia cinética que ele tinha no instante da colisão é transformada em energia potencial elástica da mola (assumindo que não há perdas e que o dispositivo “trava” o elevador na compressão máxima, impedindo retorno). Portanto a energia armazenada na mola é igual à energia cinética imediatamente antes do impacto. \n
Assim,
U_{\text{mola}} = K_{\text{impacto}} = 2\,450\,000\\ \mathrm{J} = 2450\\ \mathrm{kJ}.

Resposta

a) 245\\ \mathrm{kJ} \n
b) 2205\\ \mathrm{kJ} \n
c) v=44{,}3\\ \mathrm{m/s},\;K=2450\\ \mathrm{kJ} \n
d) 2450\\ \mathrm{kJ}

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