Deseja-se substituir 4 orifícios de diâmetro d=2 cm por apenas um orifício equivalente, trabalhando com uma carga H=3 m. Sabe-se que, para uma carga de 3 m , tem-se os seguintes valores para Cd, dados na tabela abaixo. Determinar o diâmetro do orifício equivalente.
d(c m) 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0
Cd 0,634 0,621 0,611 0,607 0,608

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos quatro furinhos de 2 cm de diâmetro cada, trabalhando com uma carga de 3 m. Queremos trocar esses quatro orifícios por um só que dê o mesmo fluxo de água, ou seja, a mesma vazão. O assunto aqui é o escoamento por orifício livre, usando a fórmula
Q = Cd , A ,raiz2gH
onde
  • é a vazão,
  • é o coeficiente de descarga (depende do diâmetro e da carga),
  • é a área do orifício,
  • é a gravidade,
  • é a carga (3 m).
O que precisamos:
  1. Calcular a vazão de um orifício de 2 cm.
  2. Multiplicar por 4 (porque são quatro).
  3. Achar o diâmetro do orifício único que, com seu , gere a mesma vazão total.
  4. Como varia com , vamos iterar/interpolar na tabela até convergir.

Passo 2

Dados iniciais:
  • Número de orifícios originais: 4
  • Diâmetro de cada um: Q2 = Cd2,A2,raiz2gH, A2 = pi,d^24
  • Carga: Qrm tot = 4,Q2
  • Na tabela, para Qrm tot = QD = CdD,AD,raiz2gH, AD = pi,D^24 , temos .
  • Fórmula de vazão de um orifício:
Logo, a vazão total é
Para o orifício equivalente de diâmetro , com coeficiente , vale

Passo 3

Vamos cancelar 4,Cd2,A2 ;=; CdD,AD longrightarrow 4,Cd2,pi,d^24 = CdD,pi,D^24 dos dois lados e usar a relação entre áreas:
4,Cd2,d^2 = CdD,D^2 longrightarrow D^2 = 4,Cd2CdD,d^2
Simplificando D^2 = 4,times 0,634CdDtimes 4 = 16,times 0,634CdD longrightarrow D = 4,raiz0,634CdD em ambos:
Como cm, , substituímos:

Passo 4

Repare que D1 = 4,raiz0,6340,611 approx 4,raiz1,038 approx 4,076 rm cm depende de CdD1approx 0,611 - (0,611-0,607)times0,0761,0 = 0,611 - 0,000304 = 0,610696 . Vamos fazer uma iteração simples:
  1. Chute inicial: usar D2 = 4,raiz0,6340,610696 approx 4,raiz1,03825 approx 4,0758 rm cm
  2. Calcular
  3. Agora achamos um para cm interpolando na tabela entre 4,0 cm e 5,0 cm:
  4. Recalcula :
Como deu praticamente o mesmo valor, convergiu!

Resposta

O diâmetro do orifício equivalente é, aproximadamente,
boxedD approx 4,08 cm

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