Desenhar e determinar os triângulos de velocidades, para a entrada e saída do rotor de uma bomba centrífuga. Sabe-se que o mesmo gira a 1470 rpm, o canal é de secção constante e a espessura das pás desprezível. São conhecidos ainda:
a. Diâmetro de saída igual ao dobro do diâmetro de entrada;
b. Ângulo construtivo da pá na entrada:
c. Ângulo a entrada:
d. Ângulo construtivo da pá na saída:
e. Diâmetro na entrada: 0,2 m
a. Diâmetro de saída igual ao dobro do diâmetro de entrada;
b. Ângulo construtivo da pá na entrada:
c. Ângulo a entrada:
d. Ângulo construtivo da pá na saída:
e. Diâmetro na entrada: 0,2 m
Passo 1
O que o enunciado pede: desenhar e determinar os triângulos de velocidades na entrada e na saída do rotor de uma bomba centrífuga.
Informações dadas (vou listar tudo que importa, para não nos perder):
\n
(diâmetro de entrada) \n
(diâmetro de saída, dado) \n
Ângulo absoluto de entrada
(ou seja, o escoamento absoluto entra radialmente, sem componente tangencial) \n
Ângulo construtivo da pá (ângulo do perfil, i.e., ângulo da pá em relação à tangente do rotor) na entrada
\n
Ângulo construtivo da pá na saída
\n
Canal de seção constante e espessura das pás desprezível (isto implica que a componente radial da velocidade
é a mesma na entrada e na saída) \n
Informações dadas (vou listar tudo que importa, para não nos perder):
Resumo do objetivo prático: calcular os vetores (ou suas componentes)
(velocidade periférica da pá),
(velocidade absoluta do fluido) e
(velocidade relativa do fluido em relação à pá) nas seções de entrada e saída; e indicar/explicar como desenhar os triângulos de velocidades.
Passo 2
Calcular a velocidade angular
e as velocidades periféricas
e
.
A relação entre rotação e velocidade angular é
Substituindo
:
As velocidades periféricas nas duas raias são
, com
e
. Logo:
Explicação curta:
é a velocidade tangencial da pá num dado raio — imagine a pá como se estivesse numa esteira; quanto maior o raio, maior a velocidade periférica.
Passo 3
Conceitos básicos dos triângulos de velocidades (aula rápida e prática).
- Vetor
: velocidade absoluta do fluido (o que observamos no referencial inercial). Tem componentes tangencial e radial (meridional) . - Vetor
: velocidade tangencial da pá (somente componente tangencial). - Vetor
: velocidade relativa do fluido medida no referencial da pá. Tem componente tangencial e radial . - Definição de ângulos:
é o ângulo entre e a tangente (portanto ). é o ângulo entre e a tangente (portanto ).
Aplicação imediata ao nosso caso:
significa
(o fluido entra puramente radial). Pelo desenho do triângulo na entrada, a componente tangencial da velocidade relativa é simplesmente
(vetor apontando oposto ao movimento da pá). Portanto
Como
e
são conhecidos, podemos obter
(que vale para entrada e saída por hipótese de seção constante):
Passo 4
Calcular
usando
e
já encontrado:
Comentário didático: esse é um truque frequente em problemas de turbomáquinas — quando a entrada é radial (
) e o ângulo da pá
é conhecido, você resolve
diretamente sem precisar do débito volumétrico.
Agora que temos
, já sabemos a velocidade absoluta na entrada:
A velocidade relativa na entrada:
Confirmação com trigonometria:
, mesma coisa.
Passo 5
Triângulo e cálculo na saída (usar
constante). Vamos obter a componente tangencial
a partir da relação trigonométrica no triângulo relativo, lembrando que agora
. Para manter o mesmo sinal convencional (e ter
), usamos a forma
(Explicação breve: se
o componente relativa tangencial tem sinal oposto ao do movimento e a razão acima é positiva; rearranjando:)
Substituindo números (
,
):
Agora as magnitudes:
Podemos também obter o ângulo absoluto
(ângulo entre
e a tangente):
Interpretação física curta:
é a componente que dá o “giro” ao fluido ao sair — é diretamente responsável pelo aumento de momento e, pela equação de Euler, pela energia transferida à bomba.
Passo 6
Como desenhar os triângulos (instruções passo-a-passo para você reproduzir no caderno; também dou as coordenadas/componentes numéricas para quem quiser plotar):
Convenção de desenho (padrão): eixo horizontal = direção tangencial (positiva no sentido de rotação), eixo vertical = direção radial (positiva para fora). \n
Entrada (triângulo
):
-
é um vetor horizontal para a direita com módulo . Coordenadas: . \n -
é puramente radial para cima: coordenadas . \n -
tem coordenadas e módulo . \n
Desenhe o triângulo colocandoe como lados adjacentes (formam um triângulo retângulo se você escrever como a hipotenusa no referencial da pá); o ângulo entre a tangente e é .
Saída (triângulo
):
-
é horizontal para a direita com módulo . Coordenadas: . \n -
tem componentes . \n -
tem componentes e módulo . \n
Desenhehorizontal para a direita, desenhe a partir da origem com inclinação acima da tangente; o vetor vai da ponta de até a ponta de (ou alternativamente desenhe e some vetorialmente com para obter ). O ângulo entre a tangente e é .
Dicas práticas para o caderno: use a escala 1:1 permitindo
ser, por exemplo,
no papel; marque as componentes horizontais e verticais, e use as coordenadas numéricas dadas acima para posicionar os pontos com precisão.
Resposta
Entrada:
Saída: