( 2,0 \mathrm{pts} ) Grãos como trigo são submetidos à reação exotérmica enquanto são armazenados. Essa geração de calor pode estragar os grãos ou até gerar incêndios se não são controlados adequadamente. O trigo ( k=0,8 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} ) é armazenado (efetivamente como superficie adiabática) em camada de 4,0 \mathrm{~m} de espessura para cada 10 \mathrm{~m}^{2}. O ar a 24^{\circ} \mathrm{C} entra em contato com a superficie superior dessa camada de trigo com \mathrm{h}=4,0 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}. A temperatura dentro dessa camada é dada por \left[\left(\mathrm{T}-\mathrm{T}_{\mathrm{s}}\right) /\left(\mathrm{T}_{0}-\mathrm{T}_{\mathrm{s}}\right)\right]= \left[1-(x / L)^{2}\right], onde T_{s} é a temperatura na superficie superior e T_{0} é a temperatura na superfície inferior, x é medido a partir do solo e L é a espessura da camada. Quando a temperatura na superfície superior for 26^{\circ} \mathrm{C}, qual o valor do fluxo de calor por \mathrm{m}^{3} gerado?

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede uma coisa clara.
Dados (retirei esses valores do enunciado):
k = 0,8\\ \mathrm{W}/\mathrm{mK},\qquad L = 4,0\\ \mathrm{m},
h = 4,0\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\mathrm{K},\qquad T_\infty = 24^\circ\mathrm{C},
a temperatura da superfície superior é dada como
T_s = 26^\circ\mathrm{C},
a distribuição de temperatura no interior da camada está especificada no enunciado por
\frac{T - T_s}{T_0 - T_s} = 1 - \left(\frac{x}{L}\right)^2,
onde T_0 é a temperatura na superfície inferior (em x=0), x é medido a partir do solo e L é a espessura da camada.
O que se pede:
  • Calcular o valor do fluxo de calor gerado por unidade de volume (isto é, a geração volumétrica de calor) em \mathrm{W}/\mathrm{m}^3 quando T_s=26^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Equação diferencial que governa o problema (explicação didática):
Em regime estacionário, unidimensional e com geração volumétrica uniforme, a equação de condução térmica é
k\,\frac{d^2 T}{dx^2} + \dot{q} = 0,
onde
  • k é a condutividade térmica ( \mathrm{W}/\mathrm{mK}),
  • T(x) é a temperatura (em ^\circ\mathrm{C} ou K),
  • \dot{q} é a geração volumétrica de calor constante que queremos ( \mathrm{W}/\mathrm{m}^3).
Reescrevendo isolando a segunda derivada:
\frac{d^2 T}{dx^2} = -\frac{\dot{q}}{k}.
Isso diz que a curvatura da temperatura é constante e proporcional à geração volumétrica.

Passo 3

Usar a expressão fornecida para T(x) e calcular derivadas (passo a passo):
Da relação do enunciado temos, manipulando,
T(x)=T_0-\bigl(T_0-T_s\bigr)\frac{x^2}{L^2}.
Agora derivamos:
primeira derivada
\frac{dT}{dx} = -2\,(T_0-T_s)\,\frac{x}{L^2},
segunda derivada (constante)
\frac{d^2T}{dx^2} = -2\,\frac{T_0-T_s}{L^2}.
Note: essa constante negativa faz sentido porque a temperatura é côncava para baixo se há geração interna positiva.

Passo 4

Condição de contorno convectiva na superfície superior e determinação de T_0-T_s:
No topo ( x=L) o fluxo condutivo que sai da camada é igual ao fluxo convectivo para o ar:
q''(x=L) = -k\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=L} = h\,(T_s - T_\infty).
Usamos a expressão da primeira derivada em x=L:
\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=L} = -2\,\frac{T_0-T_s}{L}.
Então o fluxo condutivo é
q''(L) = -k\left(-2\,\frac{T_0-T_s}{L}\right)=2k\,\frac{T_0-T_s}{L}.
Pelo lado convectivo temos
q''(L)=h\,(T_s-T_\infty).
Igualando:
2k\,\frac{T_0-T_s}{L}=h\,(T_s-T_\infty).
Substituindo numericamente ( T_s=26^\circ\mathrm{C}, T_\infty=24^\circ\mathrm{C}):
h\,(T_s-T_\infty)=4,0\cdot(26-24)=8\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
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T_0-T_s = \frac{h\,(T_s-T_\infty)\,L}{2k} = \frac{8\cdot L}{2k} = \frac{4L}{k}.
Com L=4,0\\ \mathrm{m} e k=0,8\\ \mathrm{W}/\mathrm{mK}:
T_0-T_s = \frac{4\cdot 4,0}{0,8} = \frac{16}{0,8}=20.
Portanto T_0-T_s=20\\ \mathrm{K} e T_0=46^\circ\mathrm{C} (só para referência).

Passo 5

Encontrar a geração volumétrica \dot{q} usando a segunda derivada:
Da Passo 3 temos
\frac{d^2T}{dx^2} = -2\,\frac{T_0-T_s}{L^2}.
Da equação de condução (Passo 2)
\frac{d^2T}{dx^2} = -\frac{\dot{q}}{k}.
Igualando as duas expressões:
-2\,\frac{T_0-T_s}{L^2} = -\frac{\dot{q}}{k} \quad\Longrightarrow\quad \dot{q} = 2k\,\frac{T_0-T_s}{L^2}.
Agora substituímos os valores numéricos:
\dot{q} = 2\cdot 0,8\cdot\frac{20}{(4,0)^2}.
Calcule passo a passo:
(4,0)^2 = 16,\qquad 2\cdot 0,8\cdot 20 = 32,
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\dot{q} = \frac{32}{16}=2.
As unidades são \mathrm{W}/\mathrm{m}^3.

Passo 6

Interpretação e comentário final (rápido incentivo):
A geração volumétrica encontrada é
\dot{q}=2\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^3.
Isso significa que, em média, cada metro cúbico de trigo está liberando 2\\ \mathrm{W} de calor por continuação desse processo exotérmico segundo o perfil dado. Mandou bem por acompanhar — é exatamente o que você precisa usar numa prova: ligar a equação diferencial, usar a condição convectiva e calcular as derivadas do perfil dado.

Resposta

2\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^3

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