( 2,0 \mathrm{pts} ) Grãos como trigo são submetidos à reação exotérmica enquanto são armazenados. Essa geração de calor pode estragar os grãos ou até gerar incêndios se não são controlados adequadamente. O trigo ( k=0,8 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} ) é armazenado (efetivamente como superficie adiabática) em camada de 4,0 \mathrm{~m} de espessura para cada 10 \mathrm{~m}^{2}. O ar a 24^{\circ} \mathrm{C} entra em contato com a superficie superior dessa camada de trigo com \mathrm{h}=4,0 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}. A temperatura dentro dessa camada é dada por \left[\left(\mathrm{T}-\mathrm{T}_{\mathrm{s}}\right) /\left(\mathrm{T}_{0}-\mathrm{T}_{\mathrm{s}}\right)\right]= \left[1-(x / L)^{2}\right], onde T_{s} é a temperatura na superficie superior e T_{0} é a temperatura na superfície inferior, x é medido a partir do solo e L é a espessura da camada. Quando a temperatura na superfície superior for 26^{\circ} \mathrm{C}, qual o valor do fluxo de calor por \mathrm{m}^{3} gerado?
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e pede uma coisa clara.
Dados (retirei esses valores do enunciado):
k = 0,8\\ \mathrm{W}/\mathrm{mK},\qquad L = 4,0\\ \mathrm{m},
h = 4,0\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\mathrm{K},\qquad T_\infty = 24^\circ\mathrm{C},
a temperatura da superfície superior é dada como
T_s = 26^\circ\mathrm{C},
a distribuição de temperatura no interior da camada está especificada no enunciado por
onde T_0 é a temperatura na superfície inferior (em x=0), x é medido a partir do solo e L é a espessura da camada.
O que se pede:
Calcular o valor do fluxo de calor gerado por unidade de volume (isto é, a geração volumétrica de calor) em \mathrm{W}/\mathrm{m}^3 quando T_s=26^\circ\mathrm{C}.
Passo 2
Equação diferencial que governa o problema (explicação didática):
Em regime estacionário, unidimensional e com geração volumétrica uniforme, a equação de condução térmica é
k\,\frac{d^2 T}{dx^2} + \dot{q} = 0,
onde
k é a condutividade térmica (\mathrm{W}/\mathrm{mK}),
T(x) é a temperatura (em ^\circ\mathrm{C} ou K),
\dot{q} é a geração volumétrica de calor constante que queremos (\mathrm{W}/\mathrm{m}^3).
Reescrevendo isolando a segunda derivada:
\frac{d^2 T}{dx^2} = -\frac{\dot{q}}{k}.
Isso diz que a curvatura da temperatura é constante e proporcional à geração volumétrica.
Passo 3
Usar a expressão fornecida para T(x) e calcular derivadas (passo a passo):
Da relação do enunciado temos, manipulando,
T(x)=T_0-\bigl(T_0-T_s\bigr)\frac{x^2}{L^2}.
Agora derivamos:
primeira derivada
\frac{dT}{dx} = -2\,(T_0-T_s)\,\frac{x}{L^2},
segunda derivada (constante)
\frac{d^2T}{dx^2} = -2\,\frac{T_0-T_s}{L^2}.
Note: essa constante negativa faz sentido porque a temperatura é côncava para baixo se há geração interna positiva.
Passo 4
Condição de contorno convectiva na superfície superior e determinação de T_0-T_s:
No topo (x=L) o fluxo condutivo que sai da camada é igual ao fluxo convectivo para o ar:
Interpretação e comentário final (rápido incentivo):
A geração volumétrica encontrada é
\dot{q}=2\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^3.
Isso significa que, em média, cada metro cúbico de trigo está liberando 2\\ \mathrm{W} de calor por continuação desse processo exotérmico segundo o perfil dado. Mandou bem por acompanhar — é exatamente o que você precisa usar numa prova: ligar a equação diferencial, usar a condição convectiva e calcular as derivadas do perfil dado.