( 5,0 pts) Na parede de um tubo cilíndrico coloca-se 3200 aletas, com forma de pino circular por \mathrm{m}^{2}, tendo cada diâmetro de 10,0 \mathrm{~mm} e uma altura de 60,0 \mathrm{~mm}. Admitir o coeficiente de transmissão de calor, entre a superficie da parede do cilindro ou entre uma aleta e o meio envolvente, como 120 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} \mathrm{m}^{2} \mathrm{C}, a parede do cilindro a 300^{\circ} \mathrm{C}, e o meio ambiente a 20^{\circ} \mathrm{C}. A parede e as aletas são de alumínio ( \mathrm{k}=178,8 \mathrm{kcal} / \mathrm{hm}^{\circ} \mathrm{C} ).
(a) Qual a distância entre uma aleta e outra?
(b) Qual o tipo de aleta que tem a melhor eficiência?
(c) Para uma aleta isolada na extremidade, qual a eficiência do sistema aletado?
(d) Qual o aumento do fluxo de calor dissipado com colocação das aletas?

Passo 1

Vamos organizar direitinho o que o enunciado dá e o que pede, para não nos perder depois.
  • Dados do enunciado (vou listar tudo explicitamente):
    • Número de aletas por metro quadrado: N=3200 aletas/m ^2.
    • Diâmetro de cada aleta (pino circular): d=10{,}0\\ \mathrm{mm}=0{,}010\\ \mathrm{m}.
    • Altura (comprimento) da aleta: L=60{,}0\\ \mathrm{mm}=0{,}060\\ \mathrm{m}.
    • Coeficiente de convecção: h=120\\ \mathrm{kcal/(h\;m^{2}\;^\circ C)}.
    • Temperatura da parede (base da aleta): T_b=300^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura do meio ambiente: T_\infty=20^\circ\mathrm{C}.
    • Diferença de temperatura de referência: \theta_b=T_b-T_\infty=300-20=280^\circ\mathrm{C}.
    • Condutividade térmica do alumínio: k=178{,}8\\ \mathrm{kcal/(h\;m\;^\circ C)}.
    • Geometrias para a aleta circular:
      • Perímetro da seção transversal: P=\pi d.
      • Área da seção transversal: A_c=\pi d^2/4.
      • Área lateral da aleta (onde há convecção): A_f = P L.
      • Área de contato (pegada) no pé da aleta: A_{\text{pegada}}=\pi d^2/4 (mesma de A_c, projetada sobre a base).
  • Perguntas pedidas:
    (a) Qual a distância entre uma aleta e outra? (vou interpretar isso como o espaçamento centro-a-centro e também informar a folga borda-a-borda.)
    (b) Qual o tipo de aleta que tem a melhor eficiência? (vou discutir que característica geométrica favorece eficiência e indicar o tipo mais eficiente, com justificativa didática.)
    (c) Para uma aleta com extremidade isolada (adiabática na ponta), qual a eficiência do sistema aletado (isto é, eficiência global da superfície com aletas)?
    (d) Qual o aumento do fluxo de calor dissipado com colocação das aletas, comparado com a superfície lisa de 1\\ \mathrm{m}^2?

Passo 2

(a) Distância entre aletas — interpretação e fórmula.
  • Como nos foi dado N=3200 aletas por 1\\ \mathrm{m}^2, cada aleta “ocupa” em média uma área
A_{\text{por aleta}}=\frac{1}{N}.
  • Para um arranjo quadrado simples (centro-a-centro formando uma malha quadrada), o espaçamento centro-a-centro s satisfaz
s=\sqrt{A_{\text{por aleta}}}=\frac{1}{\sqrt{N}}.
  • Vamos calcular numericamente:
s=\frac{1}{\sqrt{3200}}.
Calculemos \sqrt{3200}. \sqrt{3200}\approx56{,}5685, então
s\approx 0{,}017677\\ \mathrm{m}=17{,}68\\ \mathrm{mm}.
  • A folga borda-a-borda (distância entre superfícies laterais das aletas) é
\text{folga}=s-d \approx 17{,}68\\ \mathrm{mm}-10{,}00\\ \mathrm{mm}=7{,}68\\ \mathrm{mm}.
Observação: se o arranjo fosse hexagonal o espaçamento centro-a-centro seria um pouco menor; aqui assumi arranjo quadrado, que é o procedimento padrão quando só se dá N por m ^2.

Passo 3

(b) Que tipo de aleta tem melhor eficiência — explicação didática e resposta.
  • O que é eficiência de aleta? Para uma aleta individual, a eficiência \eta_f mede o quão bem a aleta usa sua própria área de superfície para dissipar calor, definida por
\eta_f=\frac{\text{calor realmente transferido pela aleta}}{h\,A_f\,\theta_b},
onde A_f é a área de superfície da aleta que troca calor por convecção e \theta_b é a queda de temperatura de referência.
  • Intuição física: a eficiência é alta quando a aleta consegue manter quase toda sua superfície próxima da temperatura da base (pouca queda de temperatura ao longo da aleta). Isso acontece quando a resistência térmica por condução ao longo da aleta é pequena comparada à resistência convectiva na superfície. Em termos práticos, isso significa:
    • aletas curtas (pequeno L) e/ou com grande área de seção transversal (mais espessas) têm menor queda de temperatura ao longo de sua espessura e, portanto, maior eficiência;
    • aletas muito longas e finas perdem temperatura ao longo do comprimento e têm eficiência menor, embora aumentem muito a área total.
  • Comparando geometrias: para a mesma área de superfície disponível, aletas do tipo lâmina (placa retangular curta e relativamente espessa) tendem a ser mais eficientes do que pinos finos longos, porque a lâmina tem caminho de condução mais curto (maior A_c relativa ao perímetro) e, portanto, menor perda por condução interna.
  • Sobre condição de extremidade (ponta): existem modelos com ponta isolada (adiabática), ponta convectiva e o caso limite de aleta infinitamente longa. O caso ideal que fornece maior calor teórico por aleta é o de aleta “infinita” (limite), mas isso é uma idealização; entre condições reais, uma ponta convectiva libera calor extra pela ponta e pode aumentar um pouco o calor total em relação à ponta isolada.
  • Resposta sucinta e prática (o que você deve responder na prova): a melhor eficiência (para uma mesma área de superfície trocando calor) é obtida por aletas do tipo placa (lâmina) curtas e relativamente espessas. Em termos de condição de extremidade, a aleta infinita é o limite superior teórico de transferência; entre condições reais, ponta convectiva dá ligeira vantagem sobre ponta isolada, porém a geometria (placa curta e espessa) é o fator que mais melhora a eficiência.

Passo 4

(c) Preparando os elementos para calcular a eficiência da aleta (modelo, fórmula e parâmetros).
  • Para uma aleta de secção constante e extremidade isolada, a eficiência individual pode ser mostrada (teoria de aletas) como
\eta_f=\frac{\operatorname{tanh}(mL)}{mL},
onde
m=\sqrt{\frac{hP}{kA_c}}.
  • Para o pino circular temos:
    • P=\pi d.
    • A_c=\dfrac{\pi d^2}{4}.
  • Substituindo P e A_c em m:
m=\sqrt{\frac{h(\pi d)}{k(\pi d^2/4)}}=\sqrt{\frac{4h}{k d}}.
  • Vamos calcular numericamente m, mL e então \eta_f.

Passo 5

(c) Cálculos numéricos da eficiência individual da aleta (extremidade isolada).
  • Primeiro calculemos m:
m=\sqrt{\frac{4h}{k d}}=\sqrt{\frac{4\cdot 120}{178{,}8\cdot 0{,}01}}.
Calcule o denominador: 178{,}8\cdot 0{,}01=1{,}788. Então
\frac{4\cdot 120}{1{,}788}=\frac{480}{1{,}788}\approx268{,}432.
Logo
m\approx\sqrt{268{,}432}\approx16{,}39\\ \mathrm{m}^{-1}.
  • Agora mL:
mL\approx16{,}39\times0{,}06\approx0{,}9834.
  • Agora calculemos \eta_f:
\eta_f=\frac{\operatorname{tanh}(mL)}{mL}=\frac{\operatorname{tanh}(0{,}9834)}{0{,}9834}.
Calcule \operatorname{tanh}(0{,}9834)\approx0{,}7544. Assim
\eta_f\approx\frac{0{,}7544}{0{,}9834}\approx0{,}767.
  • Resultado: eficiência da aleta individual com extremidade isolada ( \eta_f) é aproximadamente 0{,}767 (ou 76{,}7\%).
Explicação rápida: isso significa que, da área lateral da aleta, cerca de 76{,}7\% atua efetivamente como se estivesse à temperatura da base para fins de troca convectiva.

Passo 6

(c) Calcular o calor transferido por aleta e a eficiência do sistema aletado.
  • Fórmula do calor de uma aleta com extremidade isolada (a partir da solução da ODE da aleta):
q_f=\sqrt{hPkA_c}\,\operatorname{tanh}(mL)\,\theta_b.
  • Vamos calcular os termos passo a passo.
    • P=\pi d=\pi\cdot0{,}01\approx0{,}0314159\\ \mathrm{m}.
    • A_c=\pi d^2/4=\pi\cdot(0{,}01)^2/4\approx7{,}85398\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^2.
    • Calcule o produto hPkA_c:
hPkA_c = 120\cdot0{,}0314159\cdot178{,}8\cdot7{,}85398\times10^{-5}\approx0{,}05295.
  • Portanto \sqrt{hPkA_c}\approx\sqrt{0{,}05295}\approx0{,}2301.
  • Usando \operatorname{tanh}(mL)\approx0{,}7544 e \theta_b=280^\circ\mathrm{C}, obtemos
q_f \approx 0{,}2301\cdot0{,}7544\cdot280\approx48{,}61\\ \mathrm{kcal/h\\ por\\ aleta}.
  • Agora a análise por metro quadrado:
    • Número de aletas por m ^2: N=3200.
    • Calor total fornecido pelas aletas por 1\\ \mathrm{m}^2:
Q_{\text{aletas}} = N q_f \approx 3200\cdot48{,}61 \approx 155{,}552\\ \mathrm{kcal/h\;por\;m^2}.
  • Área de base não ocupada pelas pegadas das aletas (área da parede exposta que troca calor sem aleta):
A_{\text{base}} = 1 - N\cdot A_{\text{pegada}} = 1 - 3200\cdot\frac{\pi d^2}{4}.
Calcule N\cdot A_{\text{pegada}} = 3200\cdot7{,}85398\times10^{-5}\approx0{,}251327. Assim
A_{\text{base}}\approx0{,}748673\\ \mathrm{m^2}.
  • Calor convectado pela base exposta:
Q_{\text{base}} = h\,A_{\text{base}}\,\theta_b \approx 120\cdot0{,}748673\cdot280\approx25{,}155{,}4\\ \mathrm{kcal/h\;por\;m^2}.
  • Calor total com aletas:
Q_{\text{total}} = Q_{\text{aletas}} + Q_{\text{base}} \approx 155{,}552 + 25{,}155{,}4 \approx 180{,}707{,}4\\ \mathrm{kcal/h\;por\;m^2}.
  • Agora a eficiência do sistema aletado (eficiência global da superfície), definida como
\eta_{\text{sis}}=\frac{Q_{\text{total}}}{h\,A_{\text{total}}\,\theta_b},
onde A_{\text{total}}=A_{\text{base}} + N A_f (área total de convecção: área de base exposta + área lateral das aletas). Calculamos:
  • Área lateral por aleta A_f = P L = 0{,}0314159\cdot0{,}06 \approx0{,}00188496\\ \mathrm{m}^2.
  • N A_f \approx 3200\cdot0{,}00188496 \approx 6{,}03187\\ \mathrm{m}^2.
  • A_{\text{total}} = 0{,}748673 + 6{,}03187 \approx 6{,}780543\\ \mathrm{m}^2.
  • h A_{\text{total}} \theta_b = 120\cdot6{,}780543\cdot280 \approx 227{,}826{,}3\\ \mathrm{kcal/h\;por\;m^2}.
  • Assim
\eta_{\text{sis}}=\frac{180{,}707{,}4}{227{,}826{,}3}\approx0{,}793\quad\text{(ou }79{,}3\%\text{)}.
Portanto a eficiência global do sistema aletado, para o caso de aletas com extremidade isolada, é aproximadamente 0{,}793 (79,3%).

Passo 7

(d) Aumento do fluxo de calor com aletas — cálculo e interpretação.
  • Sem aletas, para 1\\ \mathrm{m}^2 da parede lisa, o calor dissipado seria
Q_{\text{liso}} = h\cdot1\cdot\theta_b = 120\cdot280 = 33{,}600\\ \mathrm{kcal/h\;por\;m^2}.
  • Com as aletas já calculamos
Q_{\text{com aletas}} = Q_{\text{total}} \approx 180{,}707{,}4\\ \mathrm{kcal/h\;por\;m^2}.
  • Aumento absoluto:
\Delta Q = Q_{\text{com aletas}} - Q_{\text{liso}} \approx 180{,}707{,}4 - 33{,}600 \approx 147{,}107{,}4\\ \mathrm{kcal/h\;por\;m^2}.
  • Aumento percentual:
\%\\ \text{aumento}=\frac{\Delta Q}{Q_{\text{liso}}}\times100\%\approx\frac{147{,}107{,}4}{33{,}600}\times100\%\approx437{,}6\%.
Ou seja, com as aletas houve um aumento de aproximadamente 147{,}107{,}4\\ \mathrm{kcal/h\;m^{-2}}, que corresponde a cerca de 437{,}6\% a mais de dissipação de calor em relação à superfície lisa.

Resposta

(a) Espaçamento centro-a-centro s\approx17{,}68\\ \mathrm{mm}. Folga borda-a-borda \approx7{,}68\\ \mathrm{mm}.
(b) Aletas do tipo placa (lâmina) curtas e relativamente espessas apresentam a melhor eficiência; entre condições de extremidade, o limite teórico com maior transferência é o caso “infinito”, e entre condições reais a ponta convectiva dá ligeira vantagem sobre ponta isolada.
(c) Eficiência da aleta individual (ponta isolada) \eta_f\approx0{,}767 (76,7%). Eficiência do sistema aletado \eta_{\text{sis}}\approx0{,}793 (79,3%).
(d) Calor sem aletas 33{,}600\\ \mathrm{kcal/h\;m^{-2}}. Com aletas \approx180{,}707{,}4\\ \mathrm{kcal/h\;m^{-2}}. Aumento absoluto \approx147{,}107{,}4\\ \mathrm{kcal/h\;m^{-2}} ( \approx437{,}6\% de aumento).

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