( 5,0 pts) Na parede de um tubo cilíndrico coloca-se 3200 aletas, com forma de pino circular por
, tendo cada diâmetro de
e uma altura de
. Admitir o coeficiente de transmissão de calor, entre a superficie da parede do cilindro ou entre uma aleta e o meio envolvente, como
, a parede do cilindro a
, e o meio ambiente a
. A parede e as aletas são de alumínio (
).
(a) Qual a distância entre uma aleta e outra?
(b) Qual o tipo de aleta que tem a melhor eficiência?
(c) Para uma aleta isolada na extremidade, qual a eficiência do sistema aletado?
(d) Qual o aumento do fluxo de calor dissipado com colocação das aletas?
(a) Qual a distância entre uma aleta e outra?
(b) Qual o tipo de aleta que tem a melhor eficiência?
(c) Para uma aleta isolada na extremidade, qual a eficiência do sistema aletado?
(d) Qual o aumento do fluxo de calor dissipado com colocação das aletas?
Passo 1
Vamos organizar direitinho o que o enunciado dá e o que pede, para não nos perder depois.
- Dados do enunciado (vou listar tudo explicitamente):
- Número de aletas por metro quadrado:
aletas/m . - Diâmetro de cada aleta (pino circular):
. - Altura (comprimento) da aleta:
. - Coeficiente de convecção:
. - Temperatura da parede (base da aleta):
. - Temperatura do meio ambiente:
. - Diferença de temperatura de referência:
. - Condutividade térmica do alumínio:
. - Geometrias para a aleta circular:
- Perímetro da seção transversal:
. - Área da seção transversal:
. - Área lateral da aleta (onde há convecção):
. - Área de contato (pegada) no pé da aleta:
(mesma de , projetada sobre a base).
- Perímetro da seção transversal:
- Número de aletas por metro quadrado:
- Perguntas pedidas:
(a) Qual a distância entre uma aleta e outra? (vou interpretar isso como o espaçamento centro-a-centro e também informar a folga borda-a-borda.)
(b) Qual o tipo de aleta que tem a melhor eficiência? (vou discutir que característica geométrica favorece eficiência e indicar o tipo mais eficiente, com justificativa didática.)
(c) Para uma aleta com extremidade isolada (adiabática na ponta), qual a eficiência do sistema aletado (isto é, eficiência global da superfície com aletas)?
(d) Qual o aumento do fluxo de calor dissipado com colocação das aletas, comparado com a superfície lisa de?
Passo 2
(a) Distância entre aletas — interpretação e fórmula.
- Como nos foi dado
aletas por , cada aleta “ocupa” em média uma área
- Para um arranjo quadrado simples (centro-a-centro formando uma malha quadrada), o espaçamento centro-a-centro
satisfaz
- Vamos calcular numericamente:
Calculemos
.
, então
- A folga borda-a-borda (distância entre superfícies laterais das aletas) é
Observação: se o arranjo fosse hexagonal o espaçamento centro-a-centro seria um pouco menor; aqui assumi arranjo quadrado, que é o procedimento padrão quando só se dá
por m
.
Passo 3
(b) Que tipo de aleta tem melhor eficiência — explicação didática e resposta.
- O que é eficiência de aleta? Para uma aleta individual, a eficiência
mede o quão bem a aleta usa sua própria área de superfície para dissipar calor, definida por
onde
é a área de superfície da aleta que troca calor por convecção e
é a queda de temperatura de referência.
- Intuição física: a eficiência é alta quando a aleta consegue manter quase toda sua superfície próxima da temperatura da base (pouca queda de temperatura ao longo da aleta). Isso acontece quando a resistência térmica por condução ao longo da aleta é pequena comparada à resistência convectiva na superfície. Em termos práticos, isso significa:
- aletas curtas (pequeno
) e/ou com grande área de seção transversal (mais espessas) têm menor queda de temperatura ao longo de sua espessura e, portanto, maior eficiência; - aletas muito longas e finas perdem temperatura ao longo do comprimento e têm eficiência menor, embora aumentem muito a área total.
- aletas curtas (pequeno
- Comparando geometrias: para a mesma área de superfície disponível, aletas do tipo lâmina (placa retangular curta e relativamente espessa) tendem a ser mais eficientes do que pinos finos longos, porque a lâmina tem caminho de condução mais curto (maior
relativa ao perímetro) e, portanto, menor perda por condução interna. - Sobre condição de extremidade (ponta): existem modelos com ponta isolada (adiabática), ponta convectiva e o caso limite de aleta infinitamente longa. O caso ideal que fornece maior calor teórico por aleta é o de aleta “infinita” (limite), mas isso é uma idealização; entre condições reais, uma ponta convectiva libera calor extra pela ponta e pode aumentar um pouco o calor total em relação à ponta isolada.
- Resposta sucinta e prática (o que você deve responder na prova): a melhor eficiência (para uma mesma área de superfície trocando calor) é obtida por aletas do tipo placa (lâmina) curtas e relativamente espessas. Em termos de condição de extremidade, a aleta infinita é o limite superior teórico de transferência; entre condições reais, ponta convectiva dá ligeira vantagem sobre ponta isolada, porém a geometria (placa curta e espessa) é o fator que mais melhora a eficiência.
Passo 4
(c) Preparando os elementos para calcular a eficiência da aleta (modelo, fórmula e parâmetros).
- Para uma aleta de secção constante e extremidade isolada, a eficiência individual pode ser mostrada (teoria de aletas) como
onde
- Para o pino circular temos:
-
. -
.
-
- Substituindo
e em :
- Vamos calcular numericamente
, e então .
Passo 5
(c) Cálculos numéricos da eficiência individual da aleta (extremidade isolada).
- Primeiro calculemos
:
Calcule o denominador:
. Então
Logo
- Agora
:
- Agora calculemos
:
Calcule
. Assim
- Resultado: eficiência da aleta individual com extremidade isolada (
) é aproximadamente (ou ).
Explicação rápida: isso significa que, da área lateral da aleta, cerca de
atua efetivamente como se estivesse à temperatura da base para fins de troca convectiva.
Passo 6
(c) Calcular o calor transferido por aleta e a eficiência do sistema aletado.
- Fórmula do calor de uma aleta com extremidade isolada (a partir da solução da ODE da aleta):
- Vamos calcular os termos passo a passo.
-
. -
. - Calcule o produto
:
-
- Portanto
. - Usando
e , obtemos
- Agora a análise por metro quadrado:
- Número de aletas por m
: . - Calor total fornecido pelas aletas por
:
- Número de aletas por m
- Área de base não ocupada pelas pegadas das aletas (área da parede exposta que troca calor sem aleta):
Calcule
. Assim
- Calor convectado pela base exposta:
- Calor total com aletas:
- Agora a eficiência do sistema aletado (eficiência global da superfície), definida como
onde
(área total de convecção: área de base exposta + área lateral das aletas). Calculamos:
- Área lateral por aleta
. -
-
-
- Assim
Portanto a eficiência global do sistema aletado, para o caso de aletas com extremidade isolada, é aproximadamente
(79,3%).
Passo 7
(d) Aumento do fluxo de calor com aletas — cálculo e interpretação.
- Sem aletas, para
da parede lisa, o calor dissipado seria
- Com as aletas já calculamos
- Aumento absoluto:
- Aumento percentual:
Ou seja, com as aletas houve um aumento de aproximadamente
, que corresponde a cerca de
a mais de dissipação de calor em relação à superfície lisa.
Resposta
(a) Espaçamento centro-a-centro
. Folga borda-a-borda
.
(b) Aletas do tipo placa (lâmina) curtas e relativamente espessas apresentam a melhor eficiência; entre condições de extremidade, o limite teórico com maior transferência é o caso “infinito”, e entre condições reais a ponta convectiva dá ligeira vantagem sobre ponta isolada.
(c) Eficiência da aleta individual (ponta isolada)
(76,7%). Eficiência do sistema aletado
(79,3%).
(d) Calor sem aletas
. Com aletas
. Aumento absoluto
(
de aumento).