Desenhar o gráfico das seguintes funções racionais, explorando os 3 limites pertinentes em cada gráfico.
(e)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa desenhar o gráfico da função racional
. Isso envolve entender um pouquinho sobre funções racionais e limites. Vamos precisar descobrir o domínio da função, identificar possíveis assíntotas e analisar como a função se comporta em certos pontos-chave usando limites.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. A função está definida quando o denominador não é zero e quando a expressão dentro da raiz quadrada é positiva, porque não dá pra tirar raiz quadrada de número negativo. Então,
precisa ser maior que zero:
Então, o domínio da função é
.
Passo 3
Agora, vamos procurar por assíntotas verticais. Geralmente, as assíntotas verticais acontecem onde o denominador é zero, mas a função não está definida. Nesse caso, o denominador
se aproxima de zero quando
se aproxima de 1 pelo lado direito. Então, temos uma assíntota vertical em
.
Passo 4
Vamos analisar o comportamento da função quando
vai para mais infinito (
). Isso nos ajuda a identificar a assíntota horizontal:
Então, a função se aproxima de zero conforme
aumenta bastante, ou seja, tem uma assíntota horizontal em
.
Passo 5
Agora, vamos verificar o limite da função quando
se aproxima de 1 pelo lado direito (
):
Isso confirma a presença da assíntota vertical em
, já que a função tende ao infinito perto desse ponto.
Passo 6
Por fim, podemos resumir os principais pontos para desenhar o gráfico:
- O domínio é
. - Há uma assíntota vertical em
. - Há uma assíntota horizontal em
. - A função cresce sem limite conforme
se aproxima de 1 pelo lado direito e se aproxima de zero conforme vai para mais infinito.
Resposta
O gráfico da função
está definido para
, possui uma assíntota vertical em
e uma assíntota horizontal em
. À medida que
se aproxima de 1 pela direita, a função tende ao infinito, e conforme
aumenta, a função se aproxima de zero. O gráfico é uma curva que começa no infinito próximo a
e desce suavemente em direção ao eixo horizontal conforme
cresce.