Desenhar o gráfico das seguintes funções racionais, explorando os 3 limites pertinentes em cada gráfico.
(e) f(x) = 1 / raiz(x - 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa desenhar o gráfico da função racional . Isso envolve entender um pouquinho sobre funções racionais e limites. Vamos precisar descobrir o domínio da função, identificar possíveis assíntotas e analisar como a função se comporta em certos pontos-chave usando limites.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. A função está definida quando o denominador não é zero e quando a expressão dentro da raiz quadrada é positiva, porque não dá pra tirar raiz quadrada de número negativo. Então, precisa ser maior que zero:
Então, o domínio da função é .

Passo 3

Agora, vamos procurar por assíntotas verticais. Geralmente, as assíntotas verticais acontecem onde o denominador é zero, mas a função não está definida. Nesse caso, o denominador se aproxima de zero quando se aproxima de 1 pelo lado direito. Então, temos uma assíntota vertical em .

Passo 4

Vamos analisar o comportamento da função quando vai para mais infinito ( ). Isso nos ajuda a identificar a assíntota horizontal:
Então, a função se aproxima de zero conforme aumenta bastante, ou seja, tem uma assíntota horizontal em .

Passo 5

Agora, vamos verificar o limite da função quando se aproxima de 1 pelo lado direito ( ):
Isso confirma a presença da assíntota vertical em , já que a função tende ao infinito perto desse ponto.

Passo 6

Por fim, podemos resumir os principais pontos para desenhar o gráfico:
  • O domínio é .
  • Há uma assíntota vertical em .
  • Há uma assíntota horizontal em .
  • A função cresce sem limite conforme se aproxima de 1 pelo lado direito e se aproxima de zero conforme vai para mais infinito.

Resposta

O gráfico da função está definido para , possui uma assíntota vertical em e uma assíntota horizontal em . À medida que se aproxima de 1 pela direita, a função tende ao infinito, e conforme aumenta, a função se aproxima de zero. O gráfico é uma curva que começa no infinito próximo a e desce suavemente em direção ao eixo horizontal conforme cresce.

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