Considere o custo de construção de uma caixa d© Analise a expressão matemática da função custo e argumente que deve existir um valor para o raio tal que o custo de construção é mínimo;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre o custo de construir uma caixa, que chamaremos de
. A missão aqui é analisar a expressão matemática dessa função de custo e mostrar que existe um valor específico para o raio (
) que faz com que o custo de construção seja o menor possível. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de funções e otimização, ou seja, encontrar valores mínimos de funções matemáticas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual é a função de custo
. Normalmente, o custo de construir algo como uma caixa depende de algumas variáveis, como o material (que pode depender do raio e da altura da caixa) e a quantidade de material necessário. Supondo que a caixa seja cilíndrica, o custo pode estar relacionado à área superficial ou ao volume da caixa.
Vamos supor que o custo está relacionado à área superficial, que é a soma da área das bases e da área lateral. A área superficial de um cilindro é dada por:
onde:
-
é o raio da base, -
é a altura da caixa.
Então, podemos modelar o custo
como sendo proporcional à área superficial:
onde
é uma constante que representa o custo por unidade de área.
Passo 3
Agora, queremos encontrar o valor de
que minimiza o custo
. Para isso, vamos tratar
como uma função de
e encontrar seu mínimo.
Primeiro, vamos simplificar a função:
Para encontrar o mínimo dessa função, vamos derivá-la em relação a
e igualar a derivada a zero. A derivada nos dá a taxa de variação do custo em relação ao raio. Se a derivada for zero, significa que alcançamos um ponto onde o custo não está aumentando nem diminuindo, ou seja, um ponto mínimo ou máximo.
Calculando a derivada:
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 4
Vamos resolver a equação
para encontrar o valor de
:
Dividindo ambos os lados por
:
Aqui, encontramos que
. No entanto, como o raio não pode ser negativo fisicamente, isso indica que nosso modelo precisa ser revisado ou que há restrições adicionais no problema. Talvez consideremos que
está relacionado a
de alguma outra forma, ou que o custo tem outra dependência.
Vamos considerar que a altura
da caixa pode estar relacionada ao raio de forma que o volume da caixa seja constante. Por exemplo, se o volume
da caixa for fixo, temos:
Substituindo
na função de custo:
Agora, vamos derivar essa nova função em relação a
:
Igualando a derivada a zero:
Multiplicando ambos os lados por
:
Então:
Resposta
Concluímos que existe um valor específico para o raio da base da caixa, dado por:
que minimiza o custo de construção da caixa considerando um volume fixo
. Isso mostra que, através da análise da função de custo e utilizando derivadas, podemos encontrar o raio ótimo para reduzir os custos de construção.