Desenhe algumas curvas de nível e esboce os gráficos das funções dadas abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para desenhar as curvas de nível e esboçar o gráfico da função de duas variáveis z = 3 – 2x – 3y, que define um plano no espaço (tema: superfícies planas e curvas de nível). Vamos usar o conceito de curvas de nível (onde z é constante) e achar pontos de interseção com os eixos para esboçar o plano.
Passo 2
Para obter as curvas de nível, fixamos z = c e escrevemos 3 – 2x – 3y = c. Rearranjando, temos
Passo 3
Cada valor de c gera uma reta no plano xy com coeficiente angular -2/3 e ordenada
. Por exemplo:
• Para c = 0: .
• Para c = 3: .
• Para c = 6: .
Essas retas são paralelas e espaçadas uniformemente, mostrando as curvas de nível.
• Para c = 0:
• Para c = 3:
• Para c = 6:
Essas retas são paralelas e espaçadas uniformemente, mostrando as curvas de nível.
Passo 4
Para esboçar o gráfico da função, note que z = 3 – 2x – 3y é um plano. Podemos encontrar os interceptos:
• Quando y = 0 e z = 0:
• Quando x = 0 e z = 0:
• Quando x = 0 e y = 0:
Com esses três pontos ($ (\tfrac32,0,0) $, e
) já conseguimos esboçar o plano ligando-os.
• Quando y = 0 e z = 0:
• Quando x = 0 e z = 0:
• Quando x = 0 e y = 0:
Com esses três pontos ($ (\tfrac32,0,0) $,
Passo 5
No esboço final, projetamos no plano xy as retas das curvas de nível paralelas de inclinação -2/3 e, em seguida, desenhamos o plano passando pelos interceptos encontrados.
Resposta
As curvas de nível são retas paralelas de equação
para diferentes valores de
. O gráfico de z = 3 – 2x – 3y é o plano que intercepta os eixos em
,
e
.