Desenhe algumas curvas de nível e esboce os gráficos das funções dadas abaixo.
z=3-2 x-3 y

Passo 1

O enunciado pede para desenhar as curvas de nível e esboçar o gráfico da função de duas variáveis z = 3 – 2x – 3y, que define um plano no espaço (tema: superfícies planas e curvas de nível). Vamos usar o conceito de curvas de nível (onde z é constante) e achar pontos de interseção com os eixos para esboçar o plano.

Passo 2

Para obter as curvas de nível, fixamos z = c e escrevemos 3 – 2x – 3y = c. Rearranjando, temos
3 - 2x - 3y = c Longrightarrow y = -tfrac23x + tfrac3 - c3

Passo 3

Cada valor de c gera uma reta no plano xy com coeficiente angular -2/3 e ordenada (3 - c)/3. Por exemplo:
• Para c = 0: y = -tfrac23x + 1.
• Para c = 3: y = -tfrac23x.
• Para c = 6: y = -tfrac23x - 1.
Essas retas são paralelas e espaçadas uniformemente, mostrando as curvas de nível.

Passo 4

Para esboçar o gráfico da função, note que z = 3 – 2x – 3y é um plano. Podemos encontrar os interceptos:
• Quando y = 0 e z = 0: 3 - 2x = 0 Rightarrow x = tfrac32
• Quando x = 0 e z = 0: 3 - 3y = 0 Rightarrow y = 1
• Quando x = 0 e y = 0: z = 3
Com esses três pontos ($ (\tfrac32,0,0) $, (tfrac32,0,0) e (0,1,0)) já conseguimos esboçar o plano ligando-os.

Passo 5

No esboço final, projetamos no plano xy as retas das curvas de nível paralelas de inclinação -2/3 e, em seguida, desenhamos o plano passando pelos interceptos encontrados.

Resposta

As curvas de nível são retas paralelas de equação y = -tfrac23x + tfrac3 - c3 para diferentes valores de c. O gráfico de z = 3 – 2x – 3y é o plano que intercepta os eixos em (tfrac32,0,0), (0,1,0) e (0,0,3).

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