Desenhe um ângulo e construa sua bissetriz.
Passo 1
O enunciado pede: desenhar um ângulo e construir a sua bissetriz.
Informações dadas (implícitas): posso usar régua sem marcações e compasso; não há medidas numéricas fixas; vou nomear o vértice do ângulo por e os pontos sobre as duas semirretas por
e
, formando o ângulo
. A tarefa final é obter a semirreta que divide
em dois ângulos congruentes.
Informações dadas (implícitas): posso usar régua sem marcações e compasso; não há medidas numéricas fixas; vou nomear o vértice do ângulo por
Passo 2
Desenhe o ângulo. Com a régua, marque um ponto que será o vértice e chame-o de
. A partir de
, desenhe duas semirretas distintas. Em uma escolha um ponto qualquer na primeira semirreta e chame de
. Na outra semirreta escolha um ponto qualquer e chame de
. Assim você tem o ângulo
.
Passo 3
Trace um arco centrado em
. Abra o compasso com uma abertura qualquer
que seja conveniente (nem muito pequena, para facilitar). Com centro em
e raio
trace um arco que corte as duas semirretas em dois pontos. Denome esses pontos de interseção por
e
(se já tiveres escolhido
antes, ajuste para que sejam os pontos onde o arco corta as semirretas). Portanto agora
.
Passo 4
Escolha a abertura do compasso
para a segunda etapa. Ela deve ser maior que
(isso garante que os dois arcos que vamos traçar se intersectem). Em termos práticos: abra o compasso numa distância um pouco maior que a metade da distância entre os pontos
e
.
Passo 5
Com centro em
e raio
trace um arco no interior do ângulo. Sem mudar a abertura do compasso, com centro em
trace outro arco que corte o arco anterior. Esses dois arcos vão ter duas interseções simétricas; escolha a interseção que esteja dentro do ângulo
e chame esse ponto de
. Nesse momento temos
.
Passo 6
Trace a reta (ou semirreta) que passa por
e por
. Use a régua sem marcações e desenhe a semirreta
que parte do vértice
e passa por
. Essa é a construção geométrica da bissetriz proposta.
Passo 7
Justifique por que
é realmente a bissetriz. Observe os triângulos
e
:
- Temos
porque ambos são raios do primeiro arco: . - Temos
porque foi construído como interseção de arcos com centros em e : . - Temos
comum às duas figuras.
Logo, pelos três lados correspondentes iguais (, , ), os triângulos e são congruentes (caso SSS). A congruência implica que os ângulos e são iguais. Portanto divide em dois ângulos congruentes — ou seja, é a bissetriz de .
Passo 8
Dicas práticas e variações rápidas para a prova:
- Não escolha
muito pequeno; se o arco ficar pequeno, a construção fica imprecisa. Um de 2–3 cm é geralmente bom no papel A4. - Escolha
um pouco maior que ; se for menor ou igual a , os arcos podem não se intersectar. - Alternativa: em vez de traçar o primeiro arco de centro
, podes marcar dois pontos quaisquer e nas semirretas e depois proceder igual (a ideia é a mesma). O importante é obter . - Treina algumas vezes: faz a construção lentamente e depois explica em voz alta — até decorar os passos para a prova.
Resposta
A bissetriz do ângulo
é a semirreta
.