Desenhe um ângulo e construa sua bissetriz.

Passo 1

O enunciado pede: desenhar um ângulo e construir a sua bissetriz.
Informações dadas (implícitas): posso usar régua sem marcações e compasso; não há medidas numéricas fixas; vou nomear o vértice do ângulo por O e os pontos sobre as duas semirretas por A e B, formando o ângulo \angle AOB. A tarefa final é obter a semirreta que divide \angle AOB em dois ângulos congruentes.

Passo 2

Desenhe o ângulo. Com a régua, marque um ponto que será o vértice e chame-o de O. A partir de O, desenhe duas semirretas distintas. Em uma escolha um ponto qualquer na primeira semirreta e chame de A. Na outra semirreta escolha um ponto qualquer e chame de B. Assim você tem o ângulo \angle AOB.

Passo 3

Trace um arco centrado em O. Abra o compasso com uma abertura qualquer r>0 que seja conveniente (nem muito pequena, para facilitar). Com centro em O e raio r trace um arco que corte as duas semirretas em dois pontos. Denome esses pontos de interseção por A e B (se já tiveres escolhido A,B antes, ajuste para que sejam os pontos onde o arco corta as semirretas). Portanto agora OA=OB=r.

Passo 4

Escolha a abertura do compasso s para a segunda etapa. Ela deve ser maior que \frac{AB}{2} (isso garante que os dois arcos que vamos traçar se intersectem). Em termos práticos: abra o compasso numa distância um pouco maior que a metade da distância entre os pontos A e B.

Passo 5

Com centro em A e raio s trace um arco no interior do ângulo. Sem mudar a abertura do compasso, com centro em B trace outro arco que corte o arco anterior. Esses dois arcos vão ter duas interseções simétricas; escolha a interseção que esteja dentro do ângulo \angle AOB e chame esse ponto de X. Nesse momento temos AX=BX=s.

Passo 6

Trace a reta (ou semirreta) que passa por O e por X. Use a régua sem marcações e desenhe a semirreta OX que parte do vértice O e passa por X. Essa é a construção geométrica da bissetriz proposta.

Passo 7

Justifique por que OX é realmente a bissetriz. Observe os triângulos \triangle OAX e \triangle OBX:
  • Temos OA=OB porque ambos são raios do primeiro arco: OA=OB=r.
  • Temos AX=BX porque X foi construído como interseção de arcos com centros em A e B: AX=BX=s.
  • Temos OX comum às duas figuras.
    Logo, pelos três lados correspondentes iguais ( OA=OB, AX=BX, OX=OX), os triângulos \triangle OAX e \triangle OBX são congruentes (caso SSS). A congruência implica que os ângulos \angle AOX e \angle XOB são iguais. Portanto OX divide \angle AOB em dois ângulos congruentes — ou seja, OX é a bissetriz de \angle AOB.

Passo 8

Dicas práticas e variações rápidas para a prova:
  • Não escolha r muito pequeno; se o arco ficar pequeno, a construção fica imprecisa. Um r de 2–3 cm é geralmente bom no papel A4.
  • Escolha s um pouco maior que \frac{AB}{2}; se s for menor ou igual a \frac{AB}{2}, os arcos podem não se intersectar.
  • Alternativa: em vez de traçar o primeiro arco de centro O, podes marcar dois pontos quaisquer A e B nas semirretas e depois proceder igual (a ideia é a mesma). O importante é obter AX=BX.
  • Treina algumas vezes: faz a construção lentamente e depois explica em voz alta — até decorar os passos para a prova.

Resposta

A bissetriz do ângulo \angle AOB é a semirreta OX.

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