Desenhe um ângulo \theta de vértice V e uma semi-reta A B e construa uma semi-reta A X tal que \widehat{B A X}=\theta.

Passo 1

O que nos dão e o que pedem. Temos um ângulo \theta de vértice V (ou seja, duas semi‑retas saindo de V que formam \theta) e uma semi‑reta dada \,A B. O pedido é: construir uma semi‑reta \,A X tal que \widehat{B A X}=\theta. Em outras palavras, queremos copiar o ângulo \theta em A de modo que um dos lados do ângulo copiado coincida com a semi‑reta \,A B.

Passo 2

Ferramentas e ideia geral (sem calcular nada ainda). Vamos copiar o ângulo usando régua e compasso: traçamos um arco ao redor do vértice V que corta os dois lados do ângulo \theta; reproduzimos esse arco em A sobre a semi‑reta A B; transferimos a distância entre os pontos de interseção do arco original para criar, a partir do ponto obtido em A, outro arco que intercepta o arco em A; a reta A X que liga A ao ponto de interseção será a semi‑reta procurada. Agora fazemos passo a passo.

Passo 3

No ângulo \theta com vértice V: escolha um raio qualquer r>0 (qualquer comprimento serve, desde que o compasso consiga traçar o arco). Com centro em V e raio r trace um arco que corte as duas semi‑retas que formam \theta. Denote as interseções por P e Q. Assim temos \,V P = V Q = r. (Comentário didático: escolher r arbitrário é normal; o que importa é usar o mesmo r depois em A.)

Passo 4

Marque claramente os pontos P e Q (são os pontos onde o arco centrado em V corta os lados do ângulo). Meça agora com o compasso a distância entre esses dois pontos: abra o compasso em \,P Q. Guardamos essa abertura (essa distância será chamada de d, isto é, d = P Q). (Didática: d é a “corda” do arco entre as interseções; ela codifica a abertura do ângulo.)

Passo 5

Vá até o ponto A. Com o compasso ajustado para o mesmo raio r (o mesmo que usou em V) trace um arco com centro em A que cruze a semi‑reta \,A B. Denote o ponto de interseção desse arco com A B por C. Assim A C = r. (Didática: aqui reproduzimos a distância do vértice para as interseções do primeiro arco.)

Passo 6

Com o compasso ajustado agora para a abertura d = P Q (a que medimos no passo 4), com centro em C trace um arco que corte o arco que você traçou com centro em A (do passo 5). Denote o ponto de interseção por X. Ou seja, C X = d e A X = r (porque X está no arco de centro A e raio r). (Didática: esse passo transfere a corda P Q para a nova configuração em torno de A.)

Passo 7

Una com a régua o ponto A ao ponto X. A semi‑reta \,A X (a partir de A passando por X) é a construção desejada.

Passo 8

Justificativa e por que isso funciona (prova geométrica curta, bem mastigada). Observe:
  • Do passo 3 temos \,V P = V Q = r e P Q = d.
  • Do passo 5 temos \,A C = r.
  • Do passo 6 temos \,A X = r (porque X está no arco de centro A) e C X = d.
Assim, no triângulo V P Q os três lados são (r,r,d) e no triângulo A X C os três lados são (r,r,d) também. Portanto os triângulos V P Q e A X C são congruentes (pelo critério LLL / SSS: todos os três lados correspondentes são iguais). Pela congruência, o ângulo entre as duas semi‑retas que unem V a P e a Q (isto é, \widehat{P V Q}, que é exatamente \theta) é igual ao ângulo entre as semi‑retas A X e A C (isto é, \widehat{X A C}). Como C está sobre a semi‑reta A B, o ângulo \widehat{X A C} é o mesmo que \widehat{B A X}. Logo \widehat{B A X}=\theta. (Didática: a razão central é que reproduzimos tanto o raio do arco quanto a corda entre as interseções, portanto a “abertura” do ângulo ficou idêntica.)

Passo 9

Dicas rápidas para a prova e erros comuns: 1) não troque as aberturas do compasso (use exatamente o mesmo r em V e em A); 2) meça corretamente P Q e transfira essa medida em C; 3) se os arcos não se cruzarem, escolha um r maior (ou menor) até que os arcos fiquem próximos o suficiente para intersectar. Você consegue — é só seguir a sequência com calma.

Resposta

A semi‑reta A X construída ligando A a X (onde X é a interseção dos arcos construídos conforme os passos) satisfaz \widehat{B A X}=\theta.

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