Desenhe um ângulo
de vértice
e uma semi-reta
e construa uma semi-reta
tal que
.
Passo 1
O que nos dão e o que pedem. Temos um ângulo
de vértice
(ou seja, duas semi‑retas saindo de
que formam
) e uma semi‑reta dada
. O pedido é: construir uma semi‑reta
tal que
. Em outras palavras, queremos copiar o ângulo
em
de modo que um dos lados do ângulo copiado coincida com a semi‑reta
.
Passo 2
Ferramentas e ideia geral (sem calcular nada ainda). Vamos copiar o ângulo usando régua e compasso: traçamos um arco ao redor do vértice
que corta os dois lados do ângulo
; reproduzimos esse arco em
sobre a semi‑reta
; transferimos a distância entre os pontos de interseção do arco original para criar, a partir do ponto obtido em
, outro arco que intercepta o arco em
; a reta
que liga
ao ponto de interseção será a semi‑reta procurada. Agora fazemos passo a passo.
Passo 3
No ângulo
com vértice
: escolha um raio qualquer
(qualquer comprimento serve, desde que o compasso consiga traçar o arco). Com centro em
e raio
trace um arco que corte as duas semi‑retas que formam
. Denote as interseções por
e
. Assim temos
. (Comentário didático: escolher
arbitrário é normal; o que importa é usar o mesmo
depois em
.)
Passo 4
Marque claramente os pontos
e
(são os pontos onde o arco centrado em
corta os lados do ângulo). Meça agora com o compasso a distância entre esses dois pontos: abra o compasso em
. Guardamos essa abertura (essa distância será chamada de
, isto é,
). (Didática:
é a “corda” do arco entre as interseções; ela codifica a abertura do ângulo.)
Passo 5
Vá até o ponto
. Com o compasso ajustado para o mesmo raio
(o mesmo que usou em
) trace um arco com centro em
que cruze a semi‑reta
. Denote o ponto de interseção desse arco com
por
. Assim
. (Didática: aqui reproduzimos a distância do vértice para as interseções do primeiro arco.)
Passo 6
Com o compasso ajustado agora para a abertura
(a que medimos no passo 4), com centro em
trace um arco que corte o arco que você traçou com centro em
(do passo 5). Denote o ponto de interseção por
. Ou seja,
e
(porque
está no arco de centro
e raio
). (Didática: esse passo transfere a corda
para a nova configuração em torno de
.)
Passo 7
Una com a régua o ponto
ao ponto
. A semi‑reta
(a partir de
passando por
) é a construção desejada.
Passo 8
Justificativa e por que isso funciona (prova geométrica curta, bem mastigada). Observe:
- Do passo 3 temos
e . - Do passo 5 temos
. - Do passo 6 temos
(porque está no arco de centro ) e .
Assim, no triângulo
os três lados são
e no triângulo
os três lados são
também. Portanto os triângulos
e
são congruentes (pelo critério LLL / SSS: todos os três lados correspondentes são iguais). Pela congruência, o ângulo entre as duas semi‑retas que unem
a
e a
(isto é,
, que é exatamente
) é igual ao ângulo entre as semi‑retas
e
(isto é,
). Como
está sobre a semi‑reta
, o ângulo
é o mesmo que
. Logo
. (Didática: a razão central é que reproduzimos tanto o raio do arco quanto a corda entre as interseções, portanto a “abertura” do ângulo ficou idêntica.)
Passo 9
Dicas rápidas para a prova e erros comuns: 1) não troque as aberturas do compasso (use exatamente o mesmo
em
e em
); 2) meça corretamente
e transfira essa medida em
; 3) se os arcos não se cruzarem, escolha um
maior (ou menor) até que os arcos fiquem próximos o suficiente para intersectar. Você consegue — é só seguir a sequência com calma.
Resposta
A semi‑reta
construída ligando
a
(onde
é a interseção dos arcos construídos conforme os passos) satisfaz
.