Desenhe e calcule a área delimitada pelas equações abaixo.
y=x^1 / 2, x=0, x=a.

Passo 1

O enunciado pede para desenhar e calcular a área delimitada pela curva y=raizx e pelas retas verticais x=0 e x=a. O conteúdo é cálculo de área por integral definida e vamos usar a definição de integral e a antiderivada de potências.

Passo 2

Primeiro, imaginamos o gráfico de y=raizx. Trata-se de uma curva que parte de (0,0) e cresce de forma suave. As retas x=0 e x=a são linhas verticais que, junto com o eixo x (onde y=0), fecham a região sob essa curva, de x=0 até x=a.
Para calcular a área dessa região, usamos a fórmula da integral definida que soma infinitas tirinhas verticais de base dx e altura y=raizx. Assim, a área é
A=integral0^araizx,dx

Passo 3

Agora vamos integrar. Note que raizx=x^1/2. A antiderivada de x^1/2 é
integral x^1/2,dx=x^3/2tfrac32=23x^3/2

Passo 4

Aplicando os limites de 0 a a, temos
A=23x^3/2|0^a=23a^3/2-23cdot0^3/2=23a^3/2

Resposta

tfrac23a^3/2

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