Verifique as seguintes identidades. Indique quando a operação for impossível.
nabla(F+G)=nabla times F+nabla times G

Passo 1

O enunciado pede para verificar a identidade nabla( F+ G)=nablatimes F+nablatimes G. O tema é cálculo vetorial, e vamos usar as definições de operador nabla aplicado a campos vetoriais – ou seja, gradiente de vetor (tensor), divergência (escalar) e rotacional (vetor).

Passo 2

Para começar, note que a notação nabla( F+ G) não especifica se é gradiente, divergência ou rotacional. Cada escolha leva a tipos de resultado diferentes:
  • Gradiente de um campo vetorial F gera um tensor 3times3.
  • Divergência nablacdot F gera um escalar.
  • Rotacional nablatimes F gera um vetor.

Passo 3

O lado direito nablatimes F+nablatimes G é claramente um vetor.

Passo 4

Se tentarmos interpretar nabla( F+ G) como divergência, o resultado seria um escalar, que não pode ser igual a um vetor. Se interpretarmos como gradiente, obteríamos um tensor, também incompatível com um vetor. Para ser um vetor teríamos que usar nablatimes( F+ G), mas esse não é o símbolo dado.

Passo 5

Como não há como conciliar o tipo de objeto à esquerda (não especificado) com o vetor à direita, a operação está mal definida.
Portanto não há interpretação consistente que torne a identidade válida.

Resposta

Operação impossível: a notação nabla( F+ G) não é bem definida e não produz um vetor compatível com nablatimes F+nablatimes G.

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