Verifique as seguintes identidades. Indique quando a operação for impossível.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a identidade
. O tema é cálculo vetorial, e vamos usar as definições de operador nabla aplicado a campos vetoriais – ou seja, gradiente de vetor (tensor), divergência (escalar) e rotacional (vetor).
Passo 2
Para começar, note que a notação
não especifica se é gradiente, divergência ou rotacional. Cada escolha leva a tipos de resultado diferentes:
- Gradiente de um campo vetorial
gera um tensor . - Divergência
gera um escalar. - Rotacional
gera um vetor.
Passo 3
O lado direito
é claramente um vetor.
Passo 4
Se tentarmos interpretar
como divergência, o resultado seria um escalar, que não pode ser igual a um vetor. Se interpretarmos como gradiente, obteríamos um tensor, também incompatível com um vetor. Para ser um vetor teríamos que usar
, mas esse não é o símbolo dado.
Passo 5
Como não há como conciliar o tipo de objeto à esquerda (não especificado) com o vetor à direita, a operação está mal definida.
Portanto não há interpretação consistente que torne a identidade válida.
Portanto não há interpretação consistente que torne a identidade válida.
Resposta
Operação impossível: a notação
não é bem definida e não produz um vetor compatível com
.