Obtenha a Transformada de Laplace Inversa abaixo.

Dica: Use completamento de quadrado no denominador e o Teorema do deslocamento complexo visto em sala.

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de tfrac9s^2+10s+9. O conteúdo é Transformada de Laplace inversa, e vamos precisar usar completamento de quadrado no denominador e o Teorema do deslocamento no domínio de s.

Passo 2

Primeiro, completamos o quadrado em s^2+10s+9. Note que s^2+10s+25=(s+5)^2, então
s^2+10s+9=(s+5)^2-16
Com isso podemos escrever
9s^2+10s+9=9(s+5)^2-4^2

Passo 3

Sabendo que Lsinh(at)=tfracas^2-a^2 e que o Teorema do deslocamento complexo diz que se Lf(t)=F(s) então Le^-atf(t)=F(s+a), vemos que
4(s+5)^2-4^2 corresponde a Le^-5tsinh(4t)
Precisamos ajustar o numerador 9 para entrar nessa forma. Escrevemos
9(s+5)^2-4^2=94cdot4(s+5)^2-4^2
Logo, pela linearidade da Transformada inversa,
L^-1l9s^2+10s+9r=94,e^-5tsinh(4t)

Resposta

f(t)=tfrac94e^-5tsinh(4t)

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