Desenhe e calcule a área delimitada pelas equações abaixo.
e
.
Passo 1
A questão pede para desenhar e calcular a área delimitada pelas curvas
e
. O conteúdo envolvido é área entre duas curvas, e vamos precisar encontrar os pontos de interseção, determinar qual função fica por cima em cada intervalo e usar a integral definida de (função superior − função inferior).
Passo 2
Para achar os pontos de interseção, resolvemos
. Fatorando, temos
, logo
,
e
. Esses serão os limites de integração.
Passo 3
Precisamos descobrir qual curva está acima da outra em cada intervalo: testando um ponto em
, por exemplo
, vemos que
e
, e
, então
está acima de
em
. Em
, para
,
, então aí
fica acima de
.
Passo 4
A área total é dada pela soma das integrais onde subtraímos a curva de baixo da curva de cima em cada intervalo:
$$A=\int_{-1}{0}\bigl(x3 - x\bigr),dx
- \int_{0}^{1}\bigl(x - x^3\bigr),dx.$$
Passo 5
Calculamos cada integral. Para a primeira:
avaliando de
Para a segunda:
avaliando de
Passo 6
Somando as duas áreas parciais obtemos