Desenhe e calcule a área delimitada pelas equações abaixo.
y=x^3 e y=x.

Passo 1

A questão pede para desenhar e calcular a área delimitada pelas curvas y=x^3 e y=x. O conteúdo envolvido é área entre duas curvas, e vamos precisar encontrar os pontos de interseção, determinar qual função fica por cima em cada intervalo e usar a integral definida de (função superior − função inferior).

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, resolvemos x^3 = x. Fatorando, temos x(x^2-1)=0, logo x=0, x=1 e x=-1. Esses serão os limites de integração.

Passo 3

Precisamos descobrir qual curva está acima da outra em cada intervalo: testando um ponto em (-1,0), por exemplo x=-0.5, vemos que (-0.5)^3=-0.125 e -0.5, e -0.125>-0.5, então y=x^3 está acima de y=x em [-1,0]. Em (0,1), para x=0.5, 0.5^3=0.125<0.5, então aí y=x fica acima de y=x^3.

Passo 4

A área total é dada pela soma das integrais onde subtraímos a curva de baixo da curva de cima em cada intervalo:
$$A=\int_{-1}{0}\bigl(x3 - x\bigr),dx
  • \int_{0}^{1}\bigl(x - x^3\bigr),dx.$$

Passo 5

Calculamos cada integral. Para a primeira:
integral (x^3 - x),dx = x^44 - x^22,
avaliando de -1 a 0
l(0-0r)-l(tfrac14-tfrac12r)=tfrac14
Para a segunda:
integral (x - x^3),dx = x^22 - x^44,
avaliando de 0 a 1
l(tfrac12-tfrac14r)-0=tfrac14

Passo 6

Somando as duas áreas parciais obtemos
A=tfrac14+tfrac14=tfrac12

Resposta

tfrac12

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