Dentre as equações abaixo que forem autônomas, encontre os pontos de equilibrio e classifique os como assintoticamente estável, instavel ou semiestável. Desenhe a reta de fase, um campo de direções e, sobre ele, algumas curvas integrais.
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Passo 1
O problema é a EDO autônoma y′ = y²(4 – y²), da matéria de equações diferenciais ordinárias. A gente vai precisar: reconhecer que é autônoma, achar os pontos de equilíbrio y* tais que f(y*) = 0, classificar pela derivada f′(y*) e depois montar a reta de fase, o campo de direções e algumas curvas integrais.
Passo 2
As funções que definem os pontos de equilíbrio vêm de y²(4 – y²) = 0. Isso dá y = 0 (raízes de ordem 2), y = 2 e y = –2. Então os equilíbrios são y* ∈ {–2, 0, 2}.
Passo 3
Para classificar, calcule a derivada f(y) = y²(4 – y²) =>
f′(y) = d/dy [y²(4 – y²)] = 2y(4 – y²) + y²(–2y) = 8y – 4y³ = 4y(2 – y²). Avaliando em cada equilíbrio:
– Em y* = –2: f′(–2) = 4(–2)(2 – 4) = –8·(–2) = 16 > 0 ⇒ instável.
– Em y* = 0: f′(0) = 0 ⇒ ponto não hiperbólico. Analisando sinais: para y>0 pequeno, y′>0 (repulsão); para y<0 pequeno, y′>0 (atração). Logo, semiestável.
– Em y* = 2: f′(2) = 4·2·(2 – 4) = 8·(–2) = –16 < 0 ⇒ assintoticamente estável.
f′(y) = d/dy [y²(4 – y²)] = 2y(4 – y²) + y²(–2y) = 8y – 4y³ = 4y(2 – y²). Avaliando em cada equilíbrio:
– Em y* = –2: f′(–2) = 4(–2)(2 – 4) = –8·(–2) = 16 > 0 ⇒ instável.
– Em y* = 0: f′(0) = 0 ⇒ ponto não hiperbólico. Analisando sinais: para y>0 pequeno, y′>0 (repulsão); para y<0 pequeno, y′>0 (atração). Logo, semiestável.
– Em y* = 2: f′(2) = 4·2·(2 – 4) = 8·(–2) = –16 < 0 ⇒ assintoticamente estável.
Passo 4
Na reta de fase, colocamos –∞————(←)——–(−2)——–(→)——–(0)——–(→)——–(2)——–(←)——–∞, onde as setas indicam o sentido do fluxo. Para y<–2 e y>2 o fluxo vai para a esquerda; entre –2 e 0 vai para a direita (em direção a 0); entre 0 e 2 também vai para a direita (em direção a 2).
Passo 5
No campo de direções, cada segmento de reta em (t,y) tem inclinação y²(4–y²). As curvas integrais lançam dessas direções, aproximando-se de y=2 a partir de baixo, fugindo de y=–2, e comportando-se como descrito acima em torno de y=0.
Resposta
Os pontos de equilíbrio são y* = –2 (instável), y* = 0 (semiestável) e y* = 2 (assintoticamente estável).