Para que valores de
temos
?
Passo 1
O enunciado pede para determinar para quais valores de
vale a igualdade
Informações dadas:
- A série de potências
(dependendo de ). - A integral imprópria
.
O que precisamos achar: o conjunto de valores reaispara os quais as duas expressões estão definidas e iguais.
Passo 2
Vamos usar a expansão em série de Taylor (desenvolvimento em série de potências) para
válida para
. Essa expansão é
Explicando: essa fórmula vem de integrar a série geométrica
para
. Aqui a variável
é o parâmetro de integração e a expansão converge uniformemente em qualquer intervalo compacto contido em
.
Passo 3
Dividindo a expansão por
(para
) obtemos, para
,
Observação sobre
: o limite quando
existe porque
, logo
; portanto a função tem uma singularidade removível em
e a igualdade vale em sentido limite também.
Passo 4
Multiplicando por
e integrando termo a termo de
até
, para qualquer
com
podemos trocar soma e integral porque a série no lado direito converge uniformemente em qualquer intervalo
(ou
se
) contido em
. Assim
Calculando a integral simples,
portanto
para todo
com
. Conclusão parcial: a igualdade vale para
.
Passo 5
Agora tratamos os pontos na fronteira
.
Para
: A série
converge (é a série
-com
), com soma
. Do lado da integral, a integral
é uma integral imprópria no ponto
, mas é convergente (o integrando se comporta bem perto de
e tem singularidade integrável em
via expansão em série). Uma maneira direta de ver que a igualdade continua válida em
é notar que, para
, a igualdade vale para
(Passo 4) e as duas funções da variável
são não-negativas e crescentes em
quando
. Assim tomando limite
e trocando limite com soma/integral (teorema de convergência monótona / Abel), obtemos que a igualdade se estende a
. Portanto vale também em
.
Passo 6
Para
: a série
converge absolutamente (porque
converge), logo o lado esquerdo está bem definido em
. Do lado da integral, para
a integral
pode ser vista integrando em
em
; para
temos
então a expansão em série de
é válida ponto a ponto e há uniformidade em intervalos
. Usando novamente a troca soma-integral em intervalos que evitam o limite e depois tomando limite, ou aplicando o teorema de Abel (continuidade do somatório da série de potências até o ponto
quando a série converge aí), conclui-se que a igualdade se estende a
. Em palavras mais simples: como a igualdade vale para
e ambas as expressões têm limites finitos quando
, a igualdade permanece para
.
Passo 7
Resumo e finalização do raciocínio: mostramos que
- para
a igualdade segue diretamente integrando termo a termo a expansão de ; - para
e a igualdade se estende pelos teoremas de troca de limite/soma (Abel / convergência monótona / continuidade das somas de séries de potências quando convergem nos pontos da fronteira).
Portanto a igualdade vale exatamente para todos os
reais tais que a série converge, isto é para
.