Para que valores de x temos \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{k}}{k^{2}}=-\int_{0}^{x} \frac{\ln (1-t)}{t} d t ?

Passo 1

O enunciado pede para determinar para quais valores de x vale a igualdade
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{k}}{k^{2}} = -\int_{0}^{x} \frac{\ln(1-t)}{t}\,dt.
Informações dadas:
  • A série de potências \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{x^{k}}{k^{2}} (dependendo de x).
  • A integral imprópria -\int_{0}^{x} \dfrac{\ln(1-t)}{t}\,dt.
    O que precisamos achar: o conjunto de valores reais x para os quais as duas expressões estão definidas e iguais.

Passo 2

Vamos usar a expansão em série de Taylor (desenvolvimento em série de potências) para \ln(1-t) válida para |t|<1. Essa expansão é
\ln(1-t) = -\sum_{k=1}^{\infty} \frac{t^{k}}{k},\qquad \text{para }|t|<1.
Explicando: essa fórmula vem de integrar a série geométrica \dfrac{1}{1-t}=\sum_{k=0}^\infty t^{k} para |t|<1. Aqui a variável t é o parâmetro de integração e a expansão converge uniformemente em qualquer intervalo compacto contido em (-1,1).

Passo 3

Dividindo a expansão por t (para t\neq0) obtemos, para |t|<1,
\frac{\ln(1-t)}{t} = -\sum_{k=1}^{\infty} \frac{t^{k-1}}{k}.
Observação sobre t=0: o limite quando t\to0 existe porque \ln(1-t)\sim -t, logo \dfrac{\ln(1-t)}{t}\to -1; portanto a função tem uma singularidade removível em t=0 e a igualdade vale em sentido limite também.

Passo 4

Multiplicando por -1 e integrando termo a termo de 0 até x, para qualquer x com |x|<1 podemos trocar soma e integral porque a série no lado direito converge uniformemente em qualquer intervalo [0,x] (ou [x,0] se x<0) contido em (-1,1). Assim
-\int_{0}^{x} \frac{\ln(1-t)}{t}\,dt = \int_{0}^{x} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{t^{k-1}}{k}\,dt = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}\int_{0}^{x} t^{k-1}\,dt.
Calculando a integral simples,
\int_{0}^{x} t^{k-1}\,dt = \frac{x^{k}}{k},
portanto
-\int_{0}^{x} \frac{\ln(1-t)}{t}\,dt = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{k}}{k^{2}},
para todo x com |x|<1. Conclusão parcial: a igualdade vale para |x|<1.

Passo 5

Agora tratamos os pontos na fronteira |x|=1.
Para x=1: A série \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{k^{2}} converge (é a série p-com p=2), com soma \dfrac{\pi^{2}}{6}. Do lado da integral, a integral
-\int_{0}^{1}\frac{\ln(1-t)}{t}\,dt
é uma integral imprópria no ponto t=1, mas é convergente (o integrando se comporta bem perto de t=0 e tem singularidade integrável em t=1 via expansão em série). Uma maneira direta de ver que a igualdade continua válida em x=1 é notar que, para 0\le r<1, a igualdade vale para x=r (Passo 4) e as duas funções da variável r são não-negativas e crescentes em r quando r\in[0,1). Assim tomando limite r\to1^{-} e trocando limite com soma/integral (teorema de convergência monótona / Abel), obtemos que a igualdade se estende a x=1. Portanto vale também em x=1.

Passo 6

Para x=-1: a série \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k}}{k^{2}} converge absolutamente (porque \sum 1/k^{2} converge), logo o lado esquerdo está bem definido em x=-1. Do lado da integral, para x=-1 a integral
-\int_{0}^{-1}\frac{\ln(1-t)}{t}\,dt
pode ser vista integrando em t em [-1,0]; para t\in[-1,0] temos |t|<1 então a expansão em série de \dfrac{\ln(1-t)}{t} é válida ponto a ponto e há uniformidade em intervalos [-1+\varepsilon,0]. Usando novamente a troca soma-integral em intervalos que evitam o limite e depois tomando limite, ou aplicando o teorema de Abel (continuidade do somatório da série de potências até o ponto -1 quando a série converge aí), conclui-se que a igualdade se estende a x=-1. Em palavras mais simples: como a igualdade vale para |x|<1 e ambas as expressões têm limites finitos quando x\to-1^{+}, a igualdade permanece para x=-1.

Passo 7

Resumo e finalização do raciocínio: mostramos que
  • para |x|<1 a igualdade segue diretamente integrando termo a termo a expansão de \ln(1-t);
  • para x=1 e x=-1 a igualdade se estende pelos teoremas de troca de limite/soma (Abel / convergência monótona / continuidade das somas de séries de potências quando convergem nos pontos da fronteira).
Portanto a igualdade vale exatamente para todos os x reais tais que a série converge, isto é para |x|\leq1.

Resposta

x\in[-1,1]

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