Determine a série de Taylor centrada na origem para a função y=\frac{x}{(1-x)^{2}}.
(sugestão: derive 1 /(1-x) )
Determine os valores de x nos quais a série encontrada converge.
Quanto vale \frac{d^{50} y}{d x^{50}}(0) ?-
Calcule \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n}{2^{n}}.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas sobre a função y=\dfrac{x}{(1-x)^{2}}:\n
  1. Determinar a série de Taylor centrada na origem (série de Maclaurin) para y.\n
  2. Determinar os valores de x onde a série converge.\n
  3. Calcular \dfrac{d^{50}y}{dx^{50}}(0).\n
  4. Calcular a soma \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{2^{n}}.\n
    Informações dadas: a função y está expressa em termos de x e a sugestão é derivar \dfrac{1}{1-x}.

Passo 2

Vamos começar lembrando a série geométrica básica. Para |x|<1 vale a identidade (pode ser obtida somando a série geométrica):
\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}.
Explicação curta: somando 1+x+x^{2}+\dots e multiplicando por (1-x) obtemos 1, o que justifica a soma para |x|<1.

Passo 3

Derivamos a identidade da série termo a termo. A derivada de \dfrac{1}{1-x} em relação a x é \dfrac{1}{(1-x)^{2}}. Derivando a série termo a termo (válido para toda |x|<1) obtemos:
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1-x}\right)=\frac{d}{dx}\left(\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}\right)
\Rightarrow \frac{1}{(1-x)^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty}n x^{\,n-1}.
Comentário didático: derivar termo a termo funciona aqui porque a série geométrica converge uniformemente em qualquer intervalo fechado [-r,r] com r<1, o que permite troca de soma e derivada.

Passo 4

Multiplicamos a expansão encontrada por x para obter a nossa função y:
y=\frac{x}{(1-x)^{2}}=x\cdot\frac{1}{(1-x)^{2}}=x\sum_{n=1}^{\infty}n x^{\,n-1}=\sum_{n=1}^{\infty}n x^{\,n}.
Portanto a série de Taylor (Maclaurin) centrada na origem é
\boxed{\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n}}.
Interpretação prática: o coeficiente do termo x^{n} na expansão é n (para n\ge1), e o termo constante é 0.

Passo 5

Agora a convergência. A série geométrica inicial converge para |x|<1, e todas as operações que fizemos (derivação termo a termo e multiplicação por x) preservam o raio de convergência; logo a série \sum_{n=1}^{\infty}n x^{n} converge para |x|<1.
Testando as extremidades:
  • Para x=1 a série vira \sum_{n=1}^{\infty} n, que diverge (termos não tendem a zero).
  • Para x=-1 a série vira \sum_{n=1}^{\infty} n(-1)^{n}; os termos n(-1)^{n} não tendem a zero, logo diverge também.
Conclusão: a série converge exatamente para |x|<1.

Passo 6

Cálculo de \dfrac{d^{50}y}{dx^{50}}(0). Para uma série de Maclaurin
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n},
vale a_{n}=\dfrac{y^{(n)}(0)}{n!}. Aqui identificamos a_{0}=0 e, para n\ge1, a_{n}=n. Então, para n=50,
\frac{y^{(50)}(0)}{50!}=a_{50}=50.
Logo
\boxed{y^{(50)}(0)=50\cdot 50!}.

Passo 7

Cálculo da soma \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^{n}}. Já temos a série geral \sum_{n=1}^{\infty}n x^{n} que, para |x|<1, soma-se explicitamente a
\sum_{n=1}^{\infty}n x^{n}=\frac{x}{(1-x)^{2}}.
Tomando x=\dfrac{1}{2} (que pertence ao intervalo de convergência), obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^{n}}=\frac{\tfrac{1}{2}}{\left(1-\tfrac{1}{2}\right)^{2}}=\frac{\tfrac{1}{2}}{\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}}=\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{4}}=2.

Resposta

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n}.\n
Converge para |x|<1.\n
\displaystyle y^{(50)}(0)=50\cdot 50!.\n
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^{n}}=2.

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