Determine a série de Taylor centrada na origem para a função
.
(sugestão: derive
)
Determine os valores de
nos quais a série encontrada converge.
Quanto vale
?-
Calcule
.
(sugestão: derive
Determine os valores de
Quanto vale
Calcule
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas sobre a função
:\n
- Determinar a série de Taylor centrada na origem (série de Maclaurin) para
.\n - Determinar os valores de
onde a série converge.\n - Calcular
.\n - Calcular a soma
.\n
Informações dadas: a funçãoestá expressa em termos de e a sugestão é derivar .
Passo 2
Vamos começar lembrando a série geométrica básica. Para
vale a identidade (pode ser obtida somando a série geométrica):
Explicação curta: somando
e multiplicando por
obtemos
, o que justifica a soma para
.
Passo 3
Derivamos a identidade da série termo a termo. A derivada de
em relação a
é
. Derivando a série termo a termo (válido para toda
) obtemos:
Comentário didático: derivar termo a termo funciona aqui porque a série geométrica converge uniformemente em qualquer intervalo fechado
com
, o que permite troca de soma e derivada.
Passo 4
Multiplicamos a expansão encontrada por
para obter a nossa função
:
Portanto a série de Taylor (Maclaurin) centrada na origem é
Interpretação prática: o coeficiente do termo
na expansão é
(para
), e o termo constante é
.
Passo 5
Agora a convergência. A série geométrica inicial converge para
, e todas as operações que fizemos (derivação termo a termo e multiplicação por
) preservam o raio de convergência; logo a série
converge para
.
Testando as extremidades:
- Para
a série vira , que diverge (termos não tendem a zero). - Para
a série vira ; os termos não tendem a zero, logo diverge também.
Conclusão: a série converge exatamente para
.
Passo 6
Cálculo de
. Para uma série de Maclaurin
vale
. Aqui identificamos
e, para
,
. Então, para
,
Logo
Passo 7
Cálculo da soma
. Já temos a série geral
que, para
, soma-se explicitamente a
Tomando
(que pertence ao intervalo de convergência), obtemos
Resposta
Converge para