Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.
Baseado em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores grandes de
.
Encontre a solução geral da equação diferencial dada e use-a para determinar o comportamento das soluções quando
.
7.
Baseado em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores grandes de
Encontre a solução geral da equação diferencial dada e use-a para determinar o comportamento das soluções quando
7.
Passo 1
Enunciado e o que é pedido (peguei a equação do enunciado): a equação dada é
O enunciado pede três coisas:
- Desenhar um campo de direções para essa equação diferencial (isto é, como são as inclinações
em diferentes pontos ). - Com base na análise do campo de direções, descrever o comportamento das soluções para valores grandes de
. - Encontrar a solução geral da equação e, usando-a, determinar o comportamento das soluções quando
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação é linear de primeira ordem na forma
com e . - Não há condições iniciais fornecidas, então vai-se obter a família de soluções gerais com uma constante arbitrária
.
Passo 2
Como construir o campo de direções (aula curta e prática).
- A ideia do campo de direções: em cada ponto
do plano fazemos um pequeno segmento cuja inclinação é . Para esta equação, primeiro escrevemos explicitamente a função que dá a inclinação:
- Interpretando esta fórmula: para cada par
a inclinação é multiplicado por . Isso diz que sinais e magnitudes da inclinação dependem de e de quão está acima ou abaixo de .
Exemplos numéricos (mostram como marcar alguns vetores do campo):
- Em
: . Ou seja, em toda a vertical os segmentos são horizontais. - Em
: (inclinação negativa moderada). - Em
: (mais inclinado para baixo). - Em
: (muito pequeno, quase horizontal). - Em
: (inclinação positiva). - Observação: para
com grande módulo, é extremamente pequeno, então as inclinações ficam pequenas em magnitude para pontos de também pequenos.
Curvas onde a inclinação é zero:
- Resolvendo
obtemos , ou seja (toda a vertical) ou (uma curva no plano). Em cada ponto dessa curva a inclinação é zero (segmentos horizontais), embora essa curva não seja, em geral, uma solução da equação — é apenas o lugar onde o vetor tangente é horizontal.
Como o campo de direções se parece (descrição visual):
- Na linha
: segmentos horizontais. - Para
: se então e como a inclinação é negativa; para a inclinação é positiva. Para grande positivo, as inclinações são muito pequenas (segmentos quase horizontais). - Para
: o fator , então o sinal das inclinações é invertido em relação ao caso . Para muito negativo as inclinações também são muito pequenas. - Conclusão qualitativa do campo: para
grande em módulo os vetores ficam quase horizontais; existe uma curva de pontos horizontais e a vertical também tem vetores horizontais. Isso sugere que as soluções convergem lentamente para valores pequenos quando é grande.
Passo 3
Análise qualitativa do comportamento para
grande (a partir do campo de direções).
- Pelo item anterior, quando
é grande positivo as inclinações são pequenas em magnitude; como a curva está muito próxima de zero para grande, as soluções ficam próximas de zero e os vetores do campo apontam de modo a “empurrar” as trajetórias para valores pequenos (tipicamente negativos e próximos de zero). Isso sugere que as soluções tendem para 0 quando . - Para
grande negativo a mesma ideia: o fator exponencial é pequeno, as inclinações são pequenas e as soluções ficam próximas de zero. Portanto qualitativamente o campo indica que as soluções se aproximam de zero quando é grande; em particular, para as soluções tendem a 0.
Passo 4
Resolver a equação passo a passo (método do fator integrante) — aula prática e didática.
- Reconhecer a forma: a equação está em forma linear de primeira ordem
com
e
.
- Calcular o fator integrante
. A fórmula é . Aqui
Explicação: o fator integrante é uma função que, multiplicando toda a equação, permite escrever o lado esquerdo como derivada de um produto.
- Multiplicar a equação por
:
O lado esquerdo é a derivada do produto
. Portanto
Explicação: verificando,
, que é exatamente o que obtivemos.
- Integrar ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
- Isolar
:
Essa é a solução geral, com
.
Passo 5
Interpretação e comportamento assintótico usando a solução explícita.
- A solução geral encontrada é
- Para estudar o limite quando
calculamos
Dividindo em termos:
Sabemos que para
a exponencial
cresce muito mais rápido que qualquer potência polinomial, logo
e também
. Um argumento formal com L’Hôpital (escrever
e aplicar L’Hôpital duas vezes) confirma que cada termo tende a zero. Portanto
- Sinal para
grande: para qualquer constante fixa-se que, para suficientemente grande, , logo e assim . Ou seja, para grande positivo a solução é negativa e tende a por valores negativos (aproxima-se de zero vindo de baixo). De modo análogo, para também a solução tende a e para grande será negativa.
Resposta
Campo de direções: vetores horizontais em
e também horizontais sobre a curva
; para
grande os vetores são quase horizontais (magnitudes pequenas), e as trajetórias ficam próximas de zero.
Solução geral: .
Comportamento quando :
(as soluções tendem a
, para
grande positivo aproximando-se de
por valores negativos).
Solução geral:
Comportamento quando