Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.
Baseado em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores grandes de t.
Encontre a solução geral da equação diferencial dada e use-a para determinar o comportamento das soluções quando t \rightarrow \infty.
7. y^{\prime}+2 t y= -2 t e^{-t^{2}}

Passo 1

Enunciado e o que é pedido (peguei a equação do enunciado): a equação dada é
y'+2t\,y=-2t e^{-t^{2}}.
O enunciado pede três coisas:
  1. Desenhar um campo de direções para essa equação diferencial (isto é, como são as inclinações y' em diferentes pontos (t,y)).
  2. Com base na análise do campo de direções, descrever o comportamento das soluções para valores grandes de t.
  3. Encontrar a solução geral da equação e, usando-a, determinar o comportamento das soluções quando t\to\infty.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação é linear de primeira ordem na forma y'+p(t)y=g(t) com p(t)=2t e g(t)=-2t e^{-t^{2}}.
  • Não há condições iniciais fornecidas, então vai-se obter a família de soluções gerais com uma constante arbitrária C.

Passo 2

Como construir o campo de direções (aula curta e prática).
  • A ideia do campo de direções: em cada ponto (t,y) do plano fazemos um pequeno segmento cuja inclinação é y'(t,y). Para esta equação, primeiro escrevemos explicitamente a função que dá a inclinação:
y' = -2t\,y -2t e^{-t^{2}} = -2t\bigl(y+e^{-t^{2}}\bigr).
  • Interpretando esta fórmula: para cada par (t,y) a inclinação é -2t multiplicado por y+e^{-t^{2}}. Isso diz que sinais e magnitudes da inclinação dependem de t e de quão y está acima ou abaixo de -e^{-t^{2}}.
Exemplos numéricos (mostram como marcar alguns vetores do campo):
  • Em t=0: \;y'=-2\cdot 0\cdot(y+e^{0})=0. Ou seja, em toda a vertical t=0 os segmentos são horizontais.
  • Em (t,y)=(1,0): \;y'=-2\cdot1\cdot(0+e^{-1})=-2e^{-1}\approx-0{,}736 (inclinação negativa moderada).
  • Em (t,y)=(1,1): \;y'=-2\cdot1\cdot(1+e^{-1})\approx-2{,}736 (mais inclinado para baixo).
  • Em (t,y)=(2,0): \;y'=-4\cdot e^{-4}\approx-0{,}073 (muito pequeno, quase horizontal).
  • Em (t,y)=(-1,0): \;y'=-2\cdot(-1)\cdot e^{-1}=2e^{-1}\approx0{,}736 (inclinação positiva).
  • Observação: para t com grande módulo, e^{-t^{2}} é extremamente pequeno, então as inclinações ficam pequenas em magnitude para pontos de y também pequenos.
Curvas onde a inclinação é zero:
  • Resolvendo y'=0 obtemos -2t(y+e^{-t^{2}})=0, ou seja t=0 (toda a vertical) ou y=-e^{-t^{2}} (uma curva no plano). Em cada ponto dessa curva a inclinação é zero (segmentos horizontais), embora essa curva não seja, em geral, uma solução da equação — é apenas o lugar onde o vetor tangente é horizontal.
Como o campo de direções se parece (descrição visual):
  • Na linha t=0: segmentos horizontais.
  • Para t>0: se y>-e^{-t^{2}} então y+e^{-t^{2}}>0 e como -2t<0 a inclinação é negativa; para y<-e^{-t^{2}} a inclinação é positiva. Para t grande positivo, as inclinações são muito pequenas (segmentos quase horizontais).
  • Para t<0: o fator -2t>0, então o sinal das inclinações é invertido em relação ao caso t>0. Para t muito negativo as inclinações também são muito pequenas.
  • Conclusão qualitativa do campo: para t grande em módulo os vetores ficam quase horizontais; existe uma curva de pontos horizontais y=-e^{-t^{2}} e a vertical t=0 também tem vetores horizontais. Isso sugere que as soluções convergem lentamente para valores pequenos quando |t| é grande.

Passo 3

Análise qualitativa do comportamento para t grande (a partir do campo de direções).
  • Pelo item anterior, quando t é grande positivo as inclinações são pequenas em magnitude; como a curva y=-e^{-t^{2}} está muito próxima de zero para t grande, as soluções ficam próximas de zero e os vetores do campo apontam de modo a “empurrar” as trajetórias para valores pequenos (tipicamente negativos e próximos de zero). Isso sugere que as soluções tendem para 0 quando t\to\infty.
  • Para t grande negativo a mesma ideia: o fator exponencial é pequeno, as inclinações são pequenas e as soluções ficam próximas de zero. Portanto qualitativamente o campo indica que as soluções se aproximam de zero quando |t| é grande; em particular, para t\to\infty as soluções tendem a 0.

Passo 4

Resolver a equação passo a passo (método do fator integrante) — aula prática e didática.
  1. Reconhecer a forma: a equação está em forma linear de primeira ordem
y' + p(t)\,y = g(t)
com p(t)=2t e g(t)=-2t e^{-t^{2}}.
  1. Calcular o fator integrante \mu(t). A fórmula é \mu(t)=\exp\!\bigl(\int p(t)\,dt\bigr). Aqui
\mu(t)=\exp\!\Bigl(\int 2t\,dt\Bigr)=\exp(t^{2})=e^{t^{2}}.
Explicação: o fator integrante é uma função que, multiplicando toda a equação, permite escrever o lado esquerdo como derivada de um produto.
  1. Multiplicar a equação por \mu(t)=e^{t^{2}}:
e^{t^{2}}y' + 2t e^{t^{2}} y = -2t e^{t^{2}} e^{-t^{2}}.
O lado esquerdo é a derivada do produto e^{t^{2}}y. Portanto
\frac{d}{dt}\bigl(e^{t^{2}}y\bigr) = -2t.
Explicação: verificando, \dfrac{d}{dt}(e^{t^{2}}y)=e^{t^{2}}y' + (2t e^{t^{2}})y, que é exatamente o que obtivemos.
  1. Integrar ambos os lados em relação a t:
e^{t^{2}}y = \int -2t\,dt = -t^{2} + C,
onde C é a constante de integração.
  1. Isolar y:
y(t) = e^{-t^{2}}\bigl(-t^{2}+C\bigr) = \bigl(C - t^{2}\bigr)e^{-t^{2}}.
Essa é a solução geral, com C\in\mathbb{R}.

Passo 5

Interpretação e comportamento assintótico usando a solução explícita.
  • A solução geral encontrada é
y(t) = \bigl(C - t^{2}\bigr)e^{-t^{2}}.
  • Para estudar o limite quando t\to\infty calculamos
\lim_{t\to\infty} y(t) = \lim_{t\to\infty} \bigl(C - t^{2}\bigr)e^{-t^{2}}.
Dividindo em termos:
y(t)=C e^{-t^{2}} - t^{2}e^{-t^{2}}.
Sabemos que para t\to\infty a exponencial e^{t^{2}} cresce muito mais rápido que qualquer potência polinomial, logo t^{2}e^{-t^{2}}\to 0 e também C e^{-t^{2}}\to 0. Um argumento formal com L’Hôpital (escrever t^{2}/e^{t^{2}} e aplicar L’Hôpital duas vezes) confirma que cada termo tende a zero. Portanto
\lim_{t\to\infty} y(t)=0.
  • Sinal para t grande: para qualquer constante C fixa-se que, para t suficientemente grande, t^{2}>C, logo C-t^{2}<0 e assim y(t)<0. Ou seja, para t grande positivo a solução é negativa e tende a 0 por valores negativos (aproxima-se de zero vindo de baixo). De modo análogo, para t\to -\infty também a solução tende a 0 e para |t| grande será negativa.

Resposta

Campo de direções: vetores horizontais em t=0 e também horizontais sobre a curva y=-e^{-t^{2}}; para |t| grande os vetores são quase horizontais (magnitudes pequenas), e as trajetórias ficam próximas de zero.
Solução geral: y(t)=\bigl(C-t^{2}\bigr)e^{-t^{2}}.
Comportamento quando t\to\infty: \displaystyle \lim_{t\to\infty}y(t)=0 (as soluções tendem a 0, para t grande positivo aproximando-se de 0 por valores negativos).

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