Desenhe um campo de direções para a equaçăo diferencial dada. Determine o comportamento de y quando
. Se esse comportamento depender do valor inicial de
. descreva essa dependência.
y^{\prime}=1+2 y
y^{\prime}=1+2 y
Passo 1
O enunciado pede para desenharmos o campo de direções da equação diferencial
e em seguida determinar como
se comporta quando
, descrevendo se esse comportamento depende do valor inicial
. Trata‐se de uma EDO linear de primeira ordem, cujo campo de direções depende só de
, e depois vamos resolver a EDO para estudar o limite assintótico.
Passo 2
Para esboçar o campo de direções, note que em cada ponto
a inclinação da reta tangente é
Isso não depende de
, só de
. Em particular:
- Quando
, temos , ou seja, tangente horizontal. - Se
, então e as tangentes sobem. - Se
, então e as tangentes descem.
Logo, ao desenhar linhas horizontais para vários valores de, basta marcar retângulos com inclinação zero em , positiva acima e negativa abaixo.
Passo 3
Vamos resolver a EDO por fator integrante. Escrevendo
o fator integrante é
. Multiplicando ambos os lados:
Integrando em
:
onde
é constante arbitrária. Multiplicando por
, obtém‐se
Passo 4
Impondo a condição inicial
, temos
Portanto a solução geral com
é
Passo 5
Agora examinamos o limite quando
. Note que
, logo o comportamento de
depende do sinal de
:
- Se
(isto é, ), então e assim . - Se
(isto é, ), então a solução é , um ponto de equilíbrio. - Se
(isto é, ), então e .
Resposta
O campo de direções apresenta reta tangente horizontal em
, inclinações positivas acima e negativas abaixo. A solução geral é
e, quando
:
(a) se ,
;
(b) se ,
;
(c) se ,
.
(a) se
(b) se
(c) se