Desenhe um campo de direções para a equaçăo diferencial dada. Determine o comportamento de y quando t \rightarrow \infty. Se esse comportamento depender do valor inicial de y \mathrm{em} t=0. descreva essa dependência.
y^{\prime}=1+2 y

Passo 1

O enunciado pede para desenharmos o campo de direções da equação diferencial
y' = 1 + 2y
e em seguida determinar como y(t) se comporta quando t \to \infty, descrevendo se esse comportamento depende do valor inicial y(0). Trata‐se de uma EDO linear de primeira ordem, cujo campo de direções depende só de y, e depois vamos resolver a EDO para estudar o limite assintótico.

Passo 2

Para esboçar o campo de direções, note que em cada ponto (t,y) a inclinação da reta tangente é
y' = 1 + 2y.
Isso não depende de t, só de y. Em particular:
  • Quando y = -\tfrac12, temos y'=0, ou seja, tangente horizontal.
  • Se y > -\tfrac12, então 1+2y>0 e as tangentes sobem.
  • Se y < -\tfrac12, então 1+2y<0 e as tangentes descem.
    Logo, ao desenhar linhas horizontais para vários valores de y, basta marcar retângulos com inclinação zero em y=-\tfrac12, positiva acima e negativa abaixo.

Passo 3

Vamos resolver a EDO por fator integrante. Escrevendo
y' - 2y = 1,
o fator integrante é \mu(t)=e^{-2t}. Multiplicando ambos os lados:
e^{-2t}y' - 2e^{-2t}y = e^{-2t} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dt}\bigl(e^{-2t}y\bigr)=e^{-2t}.
Integrando em t:
e^{-2t}y = \int e^{-2t}\,dt = -\tfrac12\,e^{-2t} + C,
onde C é constante arbitrária. Multiplicando por e^{2t}, obtém‐se
y(t) = -\tfrac12 + C\,e^{2t}.

Passo 4

Impondo a condição inicial y(0)=y_0, temos
y(0)=-\tfrac12 + C\;\Longrightarrow\;C = y_0 + \tfrac12.
Portanto a solução geral com y(0)=y_0 é
\boxed{y(t) = -\tfrac12 + \bigl(y_0 + \tfrac12\bigr)\,e^{2t}.}

Passo 5

Agora examinamos o limite quando t \to \infty. Note que e^{2t}\to\infty, logo o comportamento de y(t) depende do sinal de y_0+\tfrac12:
  • Se y_0 + \tfrac12>0 (isto é, y_0>-\tfrac12), então (y_0+\tfrac12)e^{2t}\to+\infty e assim y(t)\to+\infty.
  • Se y_0 + \tfrac12=0 (isto é, y_0=-\tfrac12), então a solução é y(t)\equiv -\tfrac12, um ponto de equilíbrio.
  • Se y_0 + \tfrac12<0 (isto é, y_0<-\tfrac12), então (y_0+\tfrac12)e^{2t}\to-\infty e y(t)\to-\infty.

Resposta

O campo de direções apresenta reta tangente horizontal em y=-\tfrac12, inclinações positivas acima e negativas abaixo. A solução geral é
y(t) = -\tfrac12 + \bigl(y_0 + \tfrac12\bigr)\,e^{2t}
e, quando t\to\infty:
(a) se y_0>-\tfrac12, y(t)\to+\infty;
(b) se y_0=-\tfrac12, y(t)\equiv -\tfrac12;
(c) se y_0<-\tfrac12, y(t)\to-\infty.

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