Desenhe um campo de direções para a equaçăo diferencial dada. Determine o comportamento de y quando t \rightarrow \infty. Se esse comportamento depender do valor inicial de y \mathrm{em} t=0. descreva essa dependência.
y^{\prime}=y+2

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o campo de direções da equação diferencial
y' = y + 2
e determinar o comportamento de y(t) quando t \to \infty, indicando se depende do valor inicial y(0)=y_0. Aqui o conteúdo é análise de campo de direções e resolução de EDO linear de primeira ordem.

Passo 2

Para desenhar o campo de direções, note que em cada ponto (t,y) a inclinação do segmento é
m = y + 2.
Isso significa que, para cada valor fixo de y, todos os segmentos horizontais têm a mesma inclinação:
\begin{aligned} \text{se }y=-2,&\text{ então }m=0\quad(\text{segmentos horizontais});\\\ \text{se }y>-2,&\text{ então }m>0\quad(\text{segmentos inclinados para cima});\\\ \text{se }y<-2,&\text{ então }m<0\quad(\text{segmentos inclinados para baixo}). \end{aligned}ããã

Passo 3

O valor y=-2 é uma solução constante (equilíbrio), pois faz y'=-2+2=0. No gráfico do campo de direções, a linha horizontal y=-2 é onde os vetores são horizontais.

Passo 4

Analisando o sinal de y+2:
  • Se y>-2, então y'>0: as soluções sobem ao longo da direção do tempo.
  • Se y<-2, então y'<0: as soluções descem.
    Isso mostra que y=-2 é um ponto de equilíbrio instável: soluções acima tendem a subir e soluções abaixo tendem a cair.

Passo 5

Resolvendo a EDO por separação de variáveis ou fator integrante:
\frac{dy}{dt} = y+2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{y+2} = dt \quad\Longrightarrow\quad \ln|y+2| = t + C.
Logo
y+2 = C_1 e^{t},
onde C_1 = e^C. Impondo y(0)=y_0 temos C_1 = y_0+2. Assim
y(t) = (y_0+2)e^{t} - 2.

Passo 6

Para t\to\infty:
  • Se y_0 > -2, então y_0+2>0 e (y_0+2)e^t\to +\infty, logo y(t)\to +\infty.
  • Se y_0 = -2, então y(t)\equiv -2.
  • Se y_0 < -2, então y_0+2<0 e (y_0+2)e^t\to -\infty, logo y(t)\to -\infty.

Resposta

O campo de direções tem segmentos horizontais em y=-2, inclinados para cima se y>-2 e para baixo se y<-2. A solução geral é
y(t) = (y_0+2)e^{t} - 2.
Quando t\to\infty,
  • para y_0>-2, y(t)\to+\infty;
  • para y_0=-2, y(t)\to-2 (equilíbrio);
  • para y_0<-2, y(t)\to-\infty.

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