Desenhe um campo de direções para a equaçăo diferencial dada. Determine o comportamento de y quando
. Se esse comportamento depender do valor inicial de
. descreva essa dependência.
y^{\prime}=y+2
y^{\prime}=y+2
Passo 1
O enunciado pede para desenhar o campo de direções da equação diferencial
e determinar o comportamento de
quando
, indicando se depende do valor inicial
. Aqui o conteúdo é análise de campo de direções e resolução de EDO linear de primeira ordem.
Passo 2
Para desenhar o campo de direções, note que em cada ponto
a inclinação do segmento é
Isso significa que, para cada valor fixo de
, todos os segmentos horizontais têm a mesma inclinação:
Passo 3
O valor
é uma solução constante (equilíbrio), pois faz
. No gráfico do campo de direções, a linha horizontal
é onde os vetores são horizontais.
Passo 4
Analisando o sinal de
:
- Se
, então : as soluções sobem ao longo da direção do tempo. - Se
, então : as soluções descem.
Isso mostra queé um ponto de equilíbrio instável: soluções acima tendem a subir e soluções abaixo tendem a cair.
Passo 5
Resolvendo a EDO por separação de variáveis ou fator integrante:
Logo
onde
. Impondo
temos
. Assim
Passo 6
Para
:
- Se
, então e , logo . - Se
, então . - Se
, então e , logo .
Resposta
O campo de direções tem segmentos horizontais em
, inclinados para cima se
e para baixo se
. A solução geral é
Quando
,
- para
, ; - para
, (equilíbrio); - para
, .