Desenhe o campo de direções das equações para x mapsto infty;
d y / d x=y+2

Passo 1

Temos a EDO de primeira ordem dydx=y+2. O que a gente quer é montar o campo de direções (slope field), ou seja, em cada ponto (x,y) do plano traçar um pequeno segmento cuja inclinação é dada por y+2.

Passo 2

Repare que a inclinação não depende de x, só de y. Isso significa que, ao longo de uma mesmíssima reta horizontal y=c, todos os segmentos terão a mesma inclinação c+2. Então o campo de direções é formado por faixas horizontais repetindo o mesmo «Ângulo» em toda direção de x.

Passo 3

Vamos listar alguns casos interessantes: em y=-2 temos y+2=0, logo os segmentos são horizontais; em y=-1 temos y+2=1, inclinação de 45°; em y=0 temos y+2=2, inclinação mais acentuada; em y=-3 temos y+2=-1, segmentos inclinados para baixo em 45°; e por aí vai.

Passo 4

Para desenhar tudo pra xtoinfty basta repetir esse padrão para a direita indefinidamente: faixas horizontais em y=-2 são linhas retas, acima e abaixo delas as faixas ficam inclinadas positivamente ou negativamente de acordo com y+2.

Resposta

O campo de direções possui retas paralelas a cada linha y=rm constante, com inclinação y+2. Em particular: em y=-2 os traços são horizontais; para y>-2 eles sobem com ângulo crescente; para y<-2 descem. Como não depende de x, esse padrão se estende para xtoinfty sem se alterar.

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