Use a Transformada de Laplace e o

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'(t) + y(t) = f(t), y(0)=0,
onde
f(t)= 1,&0<= t<1, -1,&t>=1
O conteúdo que vamos usar é a Transformada de Laplace e o segundo Teorema da Translação (deslocamento em t).

Passo 2

Primeiro, escrevemos f(t) em termos de degrau de Heaviside u(t-1). Note que
f(t)=1para t<1,
e cai para -1 em t>=1. Logo
f(t)=1 - 2,u(t-1)

Passo 3

Aplicamos a Transformada de Laplace na equação y' + y = f(t). Como y(0)=0, temos
Ly'(s)+Ly(s) =sY(s)-0 + Y(s) =(s+1)Y(s)
e do lado direito
Lf(s)=F(s)
Portanto
(s+1)Y(s)=F(s)

Passo 4

Calculamos F(s)=L1 - 2u(t-1)(s). Sabemos que
L1(s)=1s, Lu(t-1)(s)=e^-ss
Logo
F(s)=1s ;-;2,e^-ss

Passo 5

Isolando Y(s) obtemos
Y(s)=F(s)s+1 =1/s - 2e^-s/ss+1 =1s(s+1) ;-;2,e^-ss(s+1)

Passo 6

Fazemos frações parciais em
1s(s+1) =1s - 1s+1
Assim
Y(s) =l(1s - 1s+1r) ;-;2,e^-sl(1s - 1s+1r)

Passo 7

Invertemos termo a termo. Sabemos que
L^-1tfrac1s(t)=1, L^-1tfrac1s+1(t)=e^-t,
e pelo segundo Teorema da Translação
L^-1e^-sG(s)(t) =u(t-1),g(t-1),
onde g(t)=L^-1G(s)(t). Aqui G(s)=tfrac1s-tfrac1s+1 tem g(t)=1-e^-t. Logo
y(t) = l[1 - e^-tr] ;-;2,u(t-1)l[1 - e^-(t-1)r]

Passo 8

Podemos também escrever y(t) em forma de partes:
Para 0<= t<1, u(t-1)=0, então
y(t)=1 - e^-t
Para t>=1, u(t-1)=1, então
y(t)=1 - e^-t -2l(1 - e^-(t-1)r) =-1 - e^-t +2e^-(t-1)

Resposta

y(t)=1 - e^-t -2,u(t-1)l[1 - e^-(t-1)r],
ou, equivalentemente,
y(t)= 1 - e^-t,&0<= t<1, -1 - e^-t +2,e^-(t-1),&t>=1

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