Use a Transformada de Laplace e o
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
onde
O conteúdo que vamos usar é a Transformada de Laplace e o segundo Teorema da Translação (deslocamento em
t ).
Passo 2
Primeiro, escrevemos
f(t) em termos de degrau de Heaviside
u(t-1) . Note que
e cai para
-1 em
t>=1 . Logo
Passo 3
Aplicamos a Transformada de Laplace na equação
y' + y = f(t) . Como
y(0)=0 , temos
e do lado direito
Portanto
Passo 4
Calculamos
F(s)=L1 - 2u(t-1)(s) . Sabemos que
Logo
Passo 5
Isolando
Y(s) obtemos
Passo 6
Fazemos frações parciais em
Assim
Passo 7
Invertemos termo a termo. Sabemos que
e pelo segundo Teorema da Translação
onde
g(t)=L^-1G(s)(t) . Aqui
G(s)=tfrac1s-tfrac1s+1 tem
g(t)=1-e^-t . Logo
Passo 8
Podemos também escrever
y(t) em forma de partes:
Para
0<= t<1 ,
u(t-1)=0 , então
Para
t>=1 ,
u(t-1)=1 , então
Resposta
ou, equivalentemente,