Determine a área da região limitada por dentro da primeira curva e fora da segunda:
r=4 sen varnothing e r=1-sen varnothing

Passo 1

O enunciado pede a área da região, em coordenadas polares, que está por dentro da curva
r = 4sintheta
e por fora da curva
r = 1 - sintheta
Para resolver vamos usar a fórmula da área em coordenadas polares e determinar o intervalo em theta em que a região existe.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção das curvas igualando
4sintheta = 1 - sintheta
o que leva a
5sintheta = 1 Longrightarrow sintheta = tfrac15
Denotamos
alpha = arcsinl(tfrac15r),
as soluções de interesse são theta=alpha e theta=pi-alpha.

Passo 3

Para ter a região entre as duas curvas precisamos de
4sintheta >= 1 - sintheta Long<=ftrightarrow sintheta >= tfrac15,
e ainda sintheta>=0 para r>=0. Logo o intervalo de theta é
thetain[alpha,;pi-alpha]

Passo 4

A fórmula da área entre duas curvas polares é
A = 12integralalpha^pi-alphal[(rexterna)^2 - (rinterna)^2r],dtheta =12integralalpha^pi-alphal[(4sintheta)^2 - (1-sintheta)^2r]dtheta
Expandindo o integrando:
(4sintheta)^2 - (1-sintheta)^2 =16sin^2theta -l(1 - 2sintheta + sin^2thetar) =15sin^2theta +2sintheta -1

Passo 5

Calculamos a integral
integrall(15sin^2theta +2sintheta -1r)dtheta =152l(theta - tfrac12sin2thetar)-2costheta -theta + C
e, aplicando o fator tfrac12 da fórmula da área, obtemos
A(theta) =13theta4-158sin2theta-costheta
Avaliando de theta=alpha até theta=pi-alpha resulta em
A =13pi4-132,alpha+154sin2alpha+2cosalpha

Passo 6

Substituímos alpha=arcsin(tfrac15),
sin2alpha=2sinalphacosalpha=tfrac25cosalpha e
cosalpha=raiz1-(tfrac15)^2=tfrac2raiz65. Então
154sin2alpha =154cdot25cosalpha =32cosalpha,
e
32cosalpha +2cosalpha =72cosalpha =7raiz65
Assim a área final é
A =13pi4-132arcsin!l(tfrac15r) +7raiz65

Resposta

A área é
13pi4-132arcsin!l(tfrac15r) +7raiz65

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