Desenhe uma circunferência de centro O e um ponto P pertencente à ela. Construa uma reta tangente à esta circunferência passando por P.

Passo 1

O que o enunciado dá: uma circunferência com centro O e um ponto P que pertence a essa circunferência.
O que pede: construir (com régua e compasso) uma reta tangente à circunferência que passe por P.

Passo 2

Primeiro passo prático — desenhar o raio que liga O a P. Use a régua para traçar o segmento \overline{OP}. Isso serve para localizar a direção do raio em que vamos trabalhar. Não é uma solução final, é só o segmento de referência.

Passo 3

Ideia teórica rápida (sem jargão): a reta tangente à circunferência num ponto P é exatamente a reta que passa por P e é perpendicular ao raio \overline{OP}. Não vou provar ainda, mas é essa a propriedade que usaremos para construir a tangente.

Passo 4

Método de construção da perpendicular em P à reta OP (passo a passo com compasso e régua):
  1. Com o compasso plantado em P, abra-o com uma abertura qualquer não nula e marque sobre a reta OP os pontos onde o arco cortará essa reta. Chame esses pontos de A e B. Em outras palavras, trace um arco centrado em P que intersecte a linha OP em A e B. Note que A e B ficam um de cada lado de P e PA=PB.
  2. Agora escolha o mesmo compasso ou abra-o para uma abertura maior que PA (ou seja, escolha um raio maior que \,PA). Com centro em A faça um arco acima da reta OP. Com centro em B e a mesma abertura faça outro arco que cruze o arco anterior. Esses dois arcos se intersectarão em dois pontos; chame-os de C e D (um acima e outro abaixo da reta, normalmente).
  3. Use a régua para traçar a reta que passa por C e D. Essa reta CD é a mediatriz do segmento \overline{AB}. Como P é o ponto médio de \overline{AB} (pois PA=PB), a reta CD passa por P. Além disso, a mediatriz de \overline{AB} é perpendicular a \overline{AB}. Como \overline{AB} está sobre a reta OP, concluímos que a reta CD é perpendicular a OP e passa por P.

Passo 5

Conectar a construção com o objetivo: a reta t que acabamos de traçar (a reta CD) passa por P e é perpendicular ao raio \overline{OP}. Pelas propriedades da circunferência, essa é a reta candidata a ser a tangente em P.

Passo 6

Prova curta e intuitiva de que essa reta é realmente tangente (ou seja, toca a circunferência somente em P):
Suponha, por absurdo, que a reta t corte a circunferência em outro ponto Q\neq P. Então OQ e OP são dois raios iguais (ambos iguais ao raio da circunferência). No triângulo OPQ, a reta t seria ortogonal a \overline{OP} em P, portanto o ângulo em P seria reto. Assim, OQ seria a hipotenusa do triângulo retângulo OPQ, então |OQ|>|OP|. Mas isso contradiz o fato de que |OQ|=|OP| (ambos são raios). Portanto não existe tal ponto Q distinto de P — a reta só toca a circunferência em P, isto é, é tangente. (Conclusão: qualquer reta que passe por P e seja perpendicular a OP é a tangente naquele ponto.)

Passo 7

Observação sobre unicidade e verificação final: existe exatamente uma reta tangente à circunferência em P, porque existe exatamente uma reta perpendicular a uma dada reta ( OP) que passe por um ponto dado ( P). Verifique visualmente que a reta que você traçou intersecta a circunferência apenas em P.

Resposta

A reta tangente é a reta que passa por P e é perpendicular ao segmento \overline{OP}.

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