Desenhe o conjunto A e calcule a sua área:
A é a região delimitada pelas curvas y=x^2 e y=2-|x|.

Passo 1

O enunciado pede para a gente desenhar a região A limitada pelas curvas y = x² e y = 2 – |x| e depois calcular a área dessa região. Vamos precisar esboçar as duas curvas, encontrar onde elas se cruzam e então usar integração para achar a área.

Passo 2

Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas funções:
x^2 = 2 - |x|
Isso dá a equação x² + |x| - 2 = 0. Vamos tratar x ≥ 0 e x < 0 separadamente:
- Para x ≥ 0 temos x² + x - 2 = 0, cujas raízes são x = 1 e x = -2. Só faz sentido x = 1 nesse caso.
- Para x < 0 temos x² - x - 2 = 0, cujas raízes são x = 2 e x = -1. Só faz sentido x = -1 nesse caso.
Logo, as curvas se intersectam em x = -1 e x = 1.

Passo 3

Agora vemos que, no intervalo [-1,1], a reta (ou V invertido) y = 2 – |x| está sempre acima da parábola y = x². Pelo simetria do problema, podemos calcular a área como:
Área = integral-1^1 l[(2 - |x|) - x^2r] , dx = 2 integral0^1 l[2 - x - x^2r] , dxÁ

Passo 4

Vamos então integrar:
integral0^1 (2 - x - x^2) , dx = l[2x - tfracx^22 - tfracx^33r]0^1 = 2 - tfrac12 - tfrac13 = tfrac76

Passo 5

Multiplicando por 2 devido à simetria, a área total fica 2·(7/6) = 7/3.

Resposta

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