Desenhe o conjunto
e calcule a sua área:
é a região delimitada pelas curvas
e
.
Passo 1
O enunciado pede para a gente desenhar a região A limitada pelas curvas y = x² e y = 2 – |x| e depois calcular a área dessa região. Vamos precisar esboçar as duas curvas, encontrar onde elas se cruzam e então usar integração para achar a área.
Passo 2
Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas funções:
Isso dá a equação x² + |x| - 2 = 0. Vamos tratar x ≥ 0 e x < 0 separadamente:
- Para x ≥ 0 temos x² + x - 2 = 0, cujas raízes são x = 1 e x = -2. Só faz sentido x = 1 nesse caso.
- Para x < 0 temos x² - x - 2 = 0, cujas raízes são x = 2 e x = -1. Só faz sentido x = -1 nesse caso.
Logo, as curvas se intersectam em x = -1 e x = 1.
Passo 3
Agora vemos que, no intervalo [-1,1], a reta (ou V invertido) y = 2 – |x| está sempre acima da parábola y = x². Pelo simetria do problema, podemos calcular a área como:
Passo 4
Vamos então integrar:
Passo 5
Multiplicando por 2 devido à simetria, a área total fica 2·(7/6) = 7/3.