Mostre que o valor de integral0^1 raiz1+cos x d x é menor que 3 / 2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que integral0^1raiz1+cos x,dx. Vamos usar conhecimentos de identidades trigonométricas e desigualdades elementares (como sin t<= t para t>=0).

Passo 2

Usamos a identidade trigonométrica
1+cos x = 2cos^2l(x2r)
e, em [0,1], tem-se cos(x/2)>=0. Logo,
raiz1+cos x = raiz2,cosl(x2r)

Passo 3

Substituindo na integral, fica
integral0^1raiz1+cos x,dx =integral0^1raiz2,cosl(x2r),dx
A primitiva de cos(x/2) é 2sin(x/2), então

Passo 4

Calculamos o valor exato:
integral0^1raiz2,cosl(x2r),dx =2raiz2,sinl(x2r)|0^1 =2raiz2,sinl(12r)

Passo 5

Agora usamos a desigualdade sin t<= t para t>=0:
2raiz2,sinl(12r)<=2raiz2cdot12=raiz2
Como raiz2approx1,414<1,5=tfrac32, concluímos que
integral0^1raiz1+cos x,dx.

Resposta

integral0^1raiz1+cos x,dx

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