Desenhe o conjunto A dado e calcule a área.
A é o conjunto do plano limitado pelo eixo y, pelas retas y=1, y=3 e pelo gráfico de y=x^3-2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para desenhar o conjunto $ A $ no plano e calcular a área dele. A gente vai trabalhar com geometria analítica, especificamente com áreas limitadas por retas e curvas. Para isso, vamos precisar entender como identificar as regiões delimitadas pelas equações dadas e usar integrais para calcular a área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor quais são as fronteiras do conjunto $ A $. A região é limitada pelo eixo $ y $, pelas retas $ y = 1 $ e $ y = 3 $, e pelo gráfico da função $ y = x^3 - 2 $. Vamos desenhar essas curvas para visualizar melhor.

Passo 3

O eixo $ y $ é a linha vertical onde $ x = 0 $. As retas horizontais são $ y = 1 $ e $ y = 3 $. Já a curva $ y = x^3 - 2 $ é uma função cúbica que passa pelo ponto $ (0, -2) $. Vamos traçar essas linhas e a curva no mesmo gráfico para ver onde elas se intersectam.

Passo 4

Para encontrar os pontos de interseção entre a curva $ y = x^3 - 2 $ e as retas $ y = 1 $ e $ y = 3 $, vamos resolver as equações simultaneamente.
Primeiro, para $ y = 1 $:
y = x^3 - 2
Segundo, para $ y = 3 $:
y = 1

Passo 5

Agora sabemos que a curva $ y = x^3 - 2 $ intercepta a reta $ y = 1 $ em $ x = \sqrt[3]{3} $ e a reta $ y = 3 $ em $ x = \sqrt[3]{5} $. Essas serão as nossas limites laterais para calcular a área.

Passo 6

Para calcular a área limitada por essas curvas, vamos usar a integral definida. A ideia é integrar a diferença entre as funções que delimitam a região.
Como a região está entre $ y = 1 $ e $ y = 3 $, e limitada pelo eixo $ y $ (onde $ x = 0 $) e pela curva $ y = x^3 - 2 $, vamos expressar $ x $ em função de $ y $:
y = 1

Passo 7

A fórmula para a área $ A $ é dada por:
A

Passo 8

Vamos resolver a integral $ \int \sqrt[3]{y + 2} , dy $. Para isso, podemos usar uma substituição simples.
Seja $ u = y + 2 $, então $ du = dy $.
Agora, a integral fica:
integral raiz[3]y + 2 , dy

Passo 9

Voltando às variáveis originais:
34 u^4/3 = 34 (y + 2)^4/3
Agora, aplicamos os limites de integração de $ y = 1 $ a $ y = 3 $:
y = 1

Passo 10

Calculando os valores:
(3 + 2)^4/3 = 5^4/3 (1 + 2)^4/3 = 3^4/3
Então,
A = 34 ( 5^4/3 - 3^4/3 )

Resposta

A área do conjunto $ A $ é $ \frac{3}{4} \left( 5^{4/3} - 3^{4/3} \right) $ unidades de área.

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