Desenhe o conjunto
dado e calcule a área.
A é o conjunto do plano limitado pelo eixo
, pelas retas
e pelo gráfico de
.
A é o conjunto do plano limitado pelo eixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para desenhar o conjunto $ A $ no plano e calcular a área dele. A gente vai trabalhar com geometria analítica, especificamente com áreas limitadas por retas e curvas. Para isso, vamos precisar entender como identificar as regiões delimitadas pelas equações dadas e usar integrais para calcular a área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor quais são as fronteiras do conjunto $ A $. A região é limitada pelo eixo $ y $, pelas retas $ y = 1 $ e $ y = 3 $, e pelo gráfico da função $ y = x^3 - 2 $. Vamos desenhar essas curvas para visualizar melhor.
Passo 3
O eixo $ y $ é a linha vertical onde $ x = 0 $. As retas horizontais são $ y = 1 $ e $ y = 3 $. Já a curva $ y = x^3 - 2 $ é uma função cúbica que passa pelo ponto $ (0, -2) $. Vamos traçar essas linhas e a curva no mesmo gráfico para ver onde elas se intersectam.
Passo 4
Para encontrar os pontos de interseção entre a curva $ y = x^3 - 2 $ e as retas $ y = 1 $ e $ y = 3 $, vamos resolver as equações simultaneamente.
Primeiro, para $ y = 1 $:
Segundo, para $ y = 3 $:
Passo 5
Agora sabemos que a curva $ y = x^3 - 2 $ intercepta a reta $ y = 1 $ em $ x = \sqrt[3]{3} $ e a reta $ y = 3 $ em $ x = \sqrt[3]{5} $. Essas serão as nossas limites laterais para calcular a área.
Passo 6
Para calcular a área limitada por essas curvas, vamos usar a integral definida. A ideia é integrar a diferença entre as funções que delimitam a região.
Como a região está entre $ y = 1 $ e $ y = 3 $, e limitada pelo eixo $ y $ (onde $ x = 0 $) e pela curva $ y = x^3 - 2 $, vamos expressar $ x $ em função de $ y $:
Passo 7
A fórmula para a área $ A $ é dada por:
Passo 8
Vamos resolver a integral $ \int \sqrt[3]{y + 2} , dy $. Para isso, podemos usar uma substituição simples.
Seja $ u = y + 2 $, então $ du = dy $.
Agora, a integral fica:
Passo 9
Voltando às variáveis originais:
Agora, aplicamos os limites de integração de $ y = 1 $ a $ y = 3 $:
Passo 10
Calculando os valores:
Então,
Resposta
A área do conjunto $ A $ é $ \frac{3}{4} \left( 5^{4/3} - 3^{4/3} \right) $ unidades de área.