Desenhe o conjunto
dado e calcule a área.
é o conjunto do plano limitado pelas retas
e pelo gráfico de
Passo 1
O conjunto A é a região do plano limitada pelas retas x=–1, x=2, pela reta y=0 (eixo x) e pela parábola y=–x²+x+6. Vamos desenhar esse conjunto e depois calcular sua área usando integrais.
Passo 2
Para esboçar, primeiro encontramos onde a parábola cruza o eixo x resolvendo y=–x²+x+6=0. Isso dá x²–x–6=0, cujas raízes são x=(1±√25)/2, ou seja, x=3 e x=–2. Como queremos a região entre x=–1 e x=2, nesse intervalo a parábola está acima de y=0. Assim, o conjunto A fica abaixo da curva y=–x²+x+6, acima de y=0, e entre as retas verticais x=–1 e x=2.
Passo 3
Para calcular a área usamos a fórmula de área de uma região entre uma curva superior y=f(x) e a inferior y=g(x):
Aqui f(x)=–x²+x+6 e g(x)=0, com a=–1, b=2. Montamos:
A antiderivada de –x²+x+6 é
Então avaliamos de –1 a 2:
Passo 4
Substituindo os limites em F(x):
Assim, a área é:
Resposta
A área do conjunto A é
unidades de área.