Desenhe o conjunto A dado e calcule a área.
A é o conjunto do plano limitado pelas retas x=-1, x=2, y=0 e pelo gráfico de y= -x^2+x+6

Passo 1

O conjunto A é a região do plano limitada pelas retas x=–1, x=2, pela reta y=0 (eixo x) e pela parábola y=–x²+x+6. Vamos desenhar esse conjunto e depois calcular sua área usando integrais.

Passo 2

Para esboçar, primeiro encontramos onde a parábola cruza o eixo x resolvendo y=–x²+x+6=0. Isso dá x²–x–6=0, cujas raízes são x=(1±√25)/2, ou seja, x=3 e x=–2. Como queremos a região entre x=–1 e x=2, nesse intervalo a parábola está acima de y=0. Assim, o conjunto A fica abaixo da curva y=–x²+x+6, acima de y=0, e entre as retas verticais x=–1 e x=2.

Passo 3

Para calcular a área usamos a fórmula de área de uma região entre uma curva superior y=f(x) e a inferior y=g(x):
Área=integrala^bl(f(x)-g(x)r),dx Á
Aqui f(x)=–x²+x+6 e g(x)=0, com a=–1, b=2. Montamos:
Área=integral-1^2(-x^2+x+6),dx Á
A antiderivada de –x²+x+6 é
F(x)=-x^33+x^22+6x
Então avaliamos de –1 a 2:

Passo 4

Substituindo os limites em F(x):
F(2)=-2^33+2^22+6cdot2=-83+2+12=343,
F(-1)=-(-1)^33+(-1)^22+6cdot(-1)=13+12-6= -316
Assim, a área é:
Área=F(2)-F(-1)=343-l(-316r)=343+316=996=332 Á

Resposta

A área do conjunto A é tfrac332 unidades de área.

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