Desenhe o conjunto A dado e calcule sua área. A é o conjunto do plano limitados pela reta y=0 e pelo gráfico de y=3-2 x-x^2 com -1 <= x <= 3.

Passo 1

O enunciado pede pra desenhar a região limitada pela reta y=0 (eixo x) e pela parábola y=3-2x-x^2 no intervalo -1<= x<=3, e depois calcular a área dessa região.

Passo 2

Primeiro a gente acha onde a parábola corta o eixo x: resolve 3-2x-x^2=0. Aplicando a fórmula de Bhaskara em x^2+2x-3=0 dá raízes x=-3 e x=1. Destas, no nosso intervalo só interessa x=1.
Isso mostra que entre x=-1 e x=1 a parábola fica acima do eixo x ( y>=0), e para x>1 ela vai abaixo de zero, mas como a região é limitada por y=0 só temos área pra -1<= x<=1.

Passo 3

Para calcular a área, montamos a integral definida de -1 a 1 de l(3-2x-x^2r),dx, pois é a “altura” da região em cada x.
Agora efetua a integral:
integral-1^1(3-2x-x^2),dx =l[3x - x^2 - tfracx^33r]-1^1

Passo 4

Avalia em x=1 e em x=-1:
l(3cdot1 -1^2 - tfrac1^33r) - l(3cdot(-1) -(-1)^2 - tfrac(-1)^33r) =l(3-1-tfrac13r)-l(-3-1+tfrac13r) =tfrac53-(-tfrac113) =tfrac163

Passo 5

Logo, a área da região A é tfrac163.

Resposta

tfrac163

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