Sabe-se que y=c1 e^x+c2 e^-x é uma familia a dois parâmetros de soluções para y^prime prime-y^prime=0 no intervalo (-infty, infty). Encontre um membro dessa familia satisfazendo as condições iniciais y(0)=0 e y^prime(0)=1.

Passo 1

O problema é um valor inicial para a EDO y''-y'=0, cuja solução geral é y(x)=c1e^x+c2e^-x. Vamos usar essa expressão e impor y(0)=0 e y'(0)=1.

Passo 2

Derivamos a solução geral: y'(x)=c1e^x - c2e^-x. Aplicando as condições iniciais: em x=0 temos y(0)=c1+c2=0 e y'(0)=c1 - c2=1.

Passo 3

Resolvendo o sistema
c1 + c2 = 0 c1 - c2 = 1
adicionamos as equações para obter 2c1=1, logo c1=tfrac12, e então c2=-tfrac12.

Passo 4

Substituímos c1 e c2 na solução geral para achar a solução particular que satisfaz as condições iniciais.

Resposta

y(x)=tfrac12e^x - tfrac12e^-x

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