Verifique se os limites existem:
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a existência do limite de uma função de duas variáveis quando
tende a
. O conteúdo aqui é limite em várias variáveis e vamos precisar usar o teste de trajetórias (ver se o valor do limite depende do caminho de aproximação).
Passo 2
Para começar, considere a trajetória reta dada por
. Substituindo na expressão:
Assim, ao longo de
Passo 3
Agora, experimente uma família de parábolas que passe por
. Seja
e
, com constante
. Então:
Esse resultado não depende de
Passo 4
Como o valor do limite
varia conforme escolhemos
(por exemplo, para
dá
e para
dá
), o limite não pode ter valor único.
Portanto, como encontramos resultados diferentes ao longo de diferentes trajetórias, concluímos que o limite não existe.
Portanto, como encontramos resultados diferentes ao longo de diferentes trajetórias, concluímos que o limite não existe.
Resposta
O limite não existe.