Verifique se os limites existem:
lim (x, y) (1,0) (x-1)^2 y(x-1)^4+y^2.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a existência do limite de uma função de duas variáveis quando (x,y) tende a (1,0). O conteúdo aqui é limite em várias variáveis e vamos precisar usar o teste de trajetórias (ver se o valor do limite depende do caminho de aproximação).

Passo 2

Para começar, considere a trajetória reta dada por y=0. Substituindo na expressão:
f(x,0)=(x-1)^2cdot0(x-1)^4+0^2=0
Assim, ao longo de y=0, o limite é 0.

Passo 3

Agora, experimente uma família de parábolas que passe por (1,0). Seja x-1=t e y=k,t^2, com constante k. Então:
f(1+t,,k t^2)=t^2cdot(k t^2)t^4+(k t^2)^2=k t^4t^4+k^2t^4=k1+k^2
Esse resultado não depende de t, mas depende de k.

Passo 4

Como o valor do limite tfrack1+k^2 varia conforme escolhemos k (por exemplo, para k=0 0 e para k=1 1/2), o limite não pode ter valor único.
Portanto, como encontramos resultados diferentes ao longo de diferentes trajetórias, concluímos que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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