Desenhe o conjunto de nível da função f dada por: f(x, y, z)=e^-(x^2+y^2+z^2).

Passo 1

Temos a função f:ℝ³→ℝ dada por f(x,y,z)=exp(−(x²+y²+z²)). O enunciado pede para desenhar o conjunto de nível f(x,y,z)=c, com c uma constante em (0,1]. O conteúdo envolve superfícies de nível de funções radiais em três variáveis.

Passo 2

Para achar o conjunto de nível, igualamos f(x,y,z) a c:
e^-(x^2+y^2+z^2) = c
Aplicando logaritmo natural em ambos os lados, temos
-(x^2+y^2+z^2) = ln c
Portanto
x^2 + y^2 + z^2 = -ln c

Passo 3

Essa é a equação de uma esfera de centro na origem e raio
$$
r = \sqrt{-\ln c}$$
Como c varia em (0,1], -ln c>0 e r é bem definido. Logo, os conjuntos de nível de f são esferas concêntricas de raios crescentes quando c diminui.

Resposta

O conjunto de nível f(x,y,z)=c é a esfera centrada na origem de raio r=√(−ln c), formando uma família de esferas concêntricas em ℝ³.

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