Determine a região de R^2 onde a função f dada é diferenciável: f(x, y)=rraizx^2+y^2+1, 0, se x^2+y^2<11

Passo 1

O enunciado define f de forma por partes: dentro do disco aberto de raio √11 em ℝ² temos f(x,y)=√(x²+y²+1) e na região complementar f(x,y)=0. O conteúdo é diferenciabilidade de funções definidas por partes, e vamos precisar usar que composições de funções suaves são diferenciáveis nos pontos internos de cada parte e que não dá para ter derivada num ponto de descontinuidade.

Passo 2

Para (x,y) com x²+y²<11 f(x,y)=√(x²+y²+1). Essa é composição das funções g(u)=√u, suave em u>0, com h(x,y)=x²+y²+1, que é polinomial e suave em ℝ². Logo a restrição de f ao disco x²+y²<11 é diferenciável em todo esse disco.

Passo 3

Para (x,y) com x²+y²>11 f(x,y)=0, constante. Função constante é clássica função C^∞, logo diferenciável em toda a região externa ao disco fechado.

Passo 4

Na fronteira x²+y²=11 as duas definições de f não coincidem: o valor interno tende a √(11+1)=√12, mas f na região externa vale 0. Há descontinuidade aí, então f não é nem contínua e, portanto, não pode ser diferenciável nesses pontos.

Resposta

A função é diferenciável exatamente em { (x,y)∈ℝ² : x²+y²<11 } ∪ { (x,y)∈ℝ² : x²+y²>11 }, ou seja, em todos os pontos que não estejam no círculo x²+y²=11.

Exercícios relacionados