Determine o vetor gradiente da função f dada por: f(x, y)=x y-sen(x+y).

Passo 1

Estamos com a função f(x,y)=xy-sin(x+y), e o objetivo é encontrar o vetor gradiente. O conteúdo envolvido aqui é derivadas parciais e a definição de gradiente de uma função de duas variáveis.

Passo 2

O vetor gradiente de f é formado pelas derivadas parciais de f em relação a x e y. Mais formalmente:
nabla f(x,y)= partial fpartial x(x,y) partial fpartial y(x,y)

Passo 3

Para calcular partial fpartial x, derivamos f(x,y)=xy-sin(x+y) em relação a x. A derivada de xy em relação a x é y e, pela regra da cadeia, a derivada de sin(x+y) em relação a x é cos(x+y)cdot1. Logo temos:
partial fpartial x(x,y)=y-cos(x+y)

Passo 4

Para calcular partial fpartial y, derivamos f(x,y)=xy-sin(x+y) em relação a y. A derivada de xy em relação a y é x e, pela regra da cadeia, a derivada de sin(x+y) em relação a y é cos(x+y)cdot1. Assim:
partial fpartial y(x,y)=x-cos(x+y)

Passo 5

Por fim, juntamos essas derivadas parciais para escrever o vetor gradiente de f.

Resposta

[\nabla f(x,y)=\n]

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